동전 던지기를 엄청 여러 번 하면 앞면이 나오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟수의 비가 1:1 로 수렴한다고 배우잖아

동전 던지기를 2n번(n은 자연수) 했을 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는 2^(2n) 이고, 앞면과 뒷면이 각각 n번씩 나오는 경우의 수는 (2n)!/(n!)^2

따라서, 동전 던지기를 2n번 했을 때, 동전의 앞면이 나오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟수가 각각 n번씩으로 같을 확률은 (2n)!/{2^(2n)•(n!)^2} 인데 n이 무한으로 갈 때, 이 확률이 1로 수렴 하는 거냐?

수학 실력이 딸려서 못 풀겠음

근데 왠지 내 생각엔 1로 수렴 안 할 것 같은데, 만약 1로 수렴 안 하면 '동전을 엄청 여러 번 던지면 앞면, 뒷면 나오는 횟수의 비가 1:1 로 수렴 한다'는 게 틀린 게 되는 거임?

아니면, 저 확률이 꼭 1로 수렴할 필요는 없는 거임?

그리고 혹시 '동전을 엄청 여러 번 던지면 앞면, 뒷면 횟수 비가 1:1로 수렴한다'에 대한 증명이 있는지, 알고 있는 사람 있으면 알려줘