1>f(c)라고 잠깐 가정하고 풀겠음
norm x가 무한대로 갈때 1로 수렴하니까 적당한 컴팩트한 원 외부에서 f(x) 의 크기가 f(c)보다 크거나 같게 만들수 있음
언급한 적당한 컴팩트 원에서 점 하나마다 적당한 근방이 있어서 문제에서 준 성질을 만족함
컴팩트니까 유한으로 생각할수있고 그 유한근방의 중심들을 x1,...,xn이라 하자
이 각각의 근방에 대해서 f(y)>f(xi)-e를 얻는데 e->0+으로 극한 취하면 f(y)>=f(xi)를 얻을수 있음
따라서 f는 f(c),f(x1),...,f(xn)중에서 제일 작은 값을 최솟값으로 가짐
질문1: 풀이맞음?
질문2: 1=f(c)일때는 위 논의가 안됨 어케품?
마음대로 e를 0으로 보내서 open cover들을 줄여버리면 더이상 open cover가 안 되지
반지름이 e가 아니라 그건 아니지 않음? n이 e에 의존해서 xn 자체가 무한개튈수 잇어서 문제인듯
그 말임 e를 줄이면 웬만하면 d도 줄겠지
X가 무한으로 갈 때 1이니까 1보다 작은 함수값을 갖는 애들은 바운디드일테고 그 구간의 크로져에서 미니멈 취하면 되지 않을까여
미니멈이 존재함?
1보다 작거나 같은 함수값을 갖는 집합을 클로저 하면 공집합 아니고 바운디드니까 콤팩트니까 존재하죠
내말은 미니멈을 취할수있는 정의역의 어떤값이 있냐고 물은거임
일단 f는 연속이란 말이 없을 뿐더러 그런 점들 모아놓아서 bounded라는 보장도 없지. 모든 점에서 f<1이더라도 무한대에서 극한은 1일 수 있으니까.
맞네 ㅠ
우선 본문처럼 cpt. disc D를 잡으면 D 위에서 f의 inf가 (유한하게) 존재함. 그렇지 않다면 D가 cpt.니까 lim f(x_n)=-infty이고 lim x_n=x인 x_n, x in D를 잡을 수 있는데, 그러면 조건에 의해 f(x)=-infty라 말이 안 되니까. 아무튼, 그러면 마찬가지 논리로 infimum을 함숫값으로 갖는 y in D가
있으니 끝. 이제 질문 2를 생각하는데 이건 쉬움. f(c)<1인 c가 하나도 없다면 f(c)=1인 c가 바로 찾는 점이니까.
ㄱㅅ