8. Let r
1
, r2
, ••• , r,, . . . be an enumeration of the rational numbers in the interval [0,1].
For a given epsilon> 0, put an interval of length epsilon^n about the nth rational number
r, for n = I, 2, 3, ... , and find the total sum of the lengths of all the intervals.
해석이 안됨..
영어못해서 막히니까 ㅈ같다
그냥 n번째 유리수인 r에 대해서 길이가 n^n인 인터벌을만들라고
epsilon^n이었네
n번째 유리수를 포함하는데 길이가 epsilon^n인 인터벌이란 말임. 그거 다 더하면 epsilon 됨
그럼 r이 그 인터벌안에서 어디에 포함되는지는 전혀 상관없이 잡는단거야?
딱히 상관 없지, 중간에 있든 끝에 있든 인터벌 안에 들어가기만 하면 되지. 들어가기만 하면 open cover되잖아
n번째 유리수가 n번째 인터벌 안에 어디든 들어가면 그 인터벌들을 다 union했을 때 모든 유리수를 포함하는데 그 길이를 다 합치면 걍 엡실론이란 거니까 유리수를 모두 포함하는 cover의 길이가 엡실론이 되는거란 말이잖아. 그니까 measure가 0이된다 그런거임
잠시만 고민좀
유리수가 countable하게 있는데 길이가 epsilon^n인 countable한 개수의 interval을 다 더할거 아니야. n번째 유리수마다 길이가 epsilon^n인 인터벌을 각각 대응시켰으니까 유리수랑 인터벌은 1대1대응이라서 인터벌을 유리수 개수만큼 더하면 모든 인터벌을 더한게 된다고. 근데 epsilon^n을 n은 1에서 무한대까지 더하면 초항이 epsilon인 무한등비급수 합이니까 epsilon이 되잖아. epsilon은 임의의 양수면 되니까 결과적으로 인터벌 길이의 합의 하한이 0이잖아
아아 이해했다!!!!!!!!!!
나 왜 합이 epsilon인지 고민하고 있었는데 어차피 epsilon/(1-epsilon)=epsilon이니까 그렇게 표현한거구나 설명정말 고마웡
미안, 길어서 좀 대충 적었는데 그거땜에 헷갈릴줄 몰랐음
내가 아직 해석학 쌉뉴비라 epsilon을 무한히 작은 실수로 생각하기보단 정의 그대로 임의의 실수라고 생각할려고 노력해서 엡실론이 들어가는 식을 만났을 때 0으로 가는걸 상상하는걸 잘 안해서 그런것같아. 아무튼 고마워!