[일반] 매개변수 미분에 대한 질문

[PP(58.126)]

기초 미적분학 수준의 문제인 듯하지만.. 헷갈려서 질문 드립니다.

y가 s와 t의 2변수 함수이고, 다음과 같이 정의 됩니다.

y(s, t) = u(t) + t + s.

여기서 u는 t의 함수인데, 이 때 dy/du와 ∂y/∂u는 다른가? 가 질문.

t = g(u)를 만족하는 역함수 g = u-1가 있다면 y(s, t) = y2(s, u) = u + g(u) + s이기 때문에,

저는 dy/du = ∂y/∂u라고 생각했는데 이게 맞나요?

[익명(111.118)]

이건 문제가 잘 정의되지 않은거같아요. s, t가 u에 대한 함수로 주어지는지, 편미분은 어떤 변수를 고정하고 계산하는지 다 말해주어야 하는데... y가 입력받는 변수는 s,t 인데 편미분을 u에 대해서 한다는것도 따로 설명이 없으면 정의되지 않은 연산이구요

[PP(58.126)]

아.. u는 t만의 함수이고, s를 고정시키는 상황이에요

[익명(111.118)]

설명을 듣고나니 문제 의도가 좀더 이해되네요. 아마 답은 아니다일듯합니다. chain rule에 의하면 dy/du=(∂y/∂t)(dt/du)+(∂y/∂s)(∂s/∂u)인데, s와 u는 아무 관계 없으니까 덧셈기호 뒤에 있는 항은 0. (∂y/∂t는 t,s중 s를 고정한 편미분, ∂y/∂s는 t,s중 t를 고정한 편미분) 그런데 ∂y/∂t=(du/dt)+1이니까 dy/du=[(du/dt)+1]*(dt/du)=1+dt/du=1+g'(u)라고 답해야 할 듯하네요

[익명(111.118)]

* 덧셈기호 뒤에 있는 항이 0 : ∂s/∂u=0이라는 뜻이었습니다

[익명(111.118)]

* 또 ∂y/∂u=1인 것도 염두에 두시고요

[PP(58.126)]

자세한 답변 감사합니다. 그런데 ∂y/∂u = 1인 것만 이해가 안 가네요.. 제 질문 끝에 적은 논리 y = y(s, t) = y2(s, u) = u + g(u) + s에서 ∂y/∂u가 s를 고정한 편미분이니, u + g'(u)가 된다는 논리는 틀린 건가요?

[익명(111.118)]

자고 일어나서 다시 생각해보니 질문자의 풀이가 일리가 있네요. 제가 ∂y/∂u=1이라 한건 y를 3변수 함수 y(u,t,s)로 본 것이라 잘못 푼것 같아요. 굳이 변명을 하자면 문제가 통상적인 수학 교과서들의 관습을 안 따르는 것 같아서 많이 헷갈리는데(...)

[익명(111.118)]

아무튼 결론은 제 풀이는 철회할게요. 질문자의 풀이가 맞는 거 같습니다

[PP(114.70)]

도움이 많이 되었습니다. 감사해요~