원래 완전한 풀이 올리려다가 그런다고 이해가 더 쉬울것 같지도 않고 귀찮기도해서 개요만 올림
1. 가장 간단한 케이스
convex, f>=0일때 곡선의 길이가 저 간단한 길이보다 작다를 증명
풀이는 이거면 끝이겠지
2. 중간 점이 x축 위가 아닐때
즉 중간 기점이 곡선 아래일때 두 선분길이의 합> 곡선길이
본질적으로 1의 풀이와 같음. 1에서 사용된 부등식이 (1,f')벡터의 길이를 x축 y축 성분 벡터들 길이의 합보다 작다였다면 여기선 v1 v2 성분이라 보면 됨
중간 기점이 곡선 아래인게 1의 f>=0과 대응됨
3. (각 선분이)f에 접하는 piecewise linear한 곡선의 길이는 f의 길이보다 큼
2에서 자명
4. f아래에 있고 piecewise linear, convex한 곡선의 길이는 같은 조건이면서 (각 선분이)f에 접하는 어떤 곡선의 길이보다 작음
이런식으로 직선의 기울기 유지하면서 움직이면 됨
길이가 더 짧아지는건 자명하고 한점에서만 만나는것도 convex로 보일 수 있음. 예외경우는 저 직선의 기울기가 f 양끝점의 기울기보다 기울어져있을 경우인데 이 경우도 f곡선 끝점에서 만나니까 ㅇㅋ
5. g의 길이는 g아래의(따라서 f 아래의) piecewise linear, convex한 곡선으로 근사됨
이런식으로 그런 곡선을 만들면 됨
굵은 점으로 해놓은데서 접선긋는식으로
저 근사곡선의 길이는 g의 곡선길이를 리만적분 할때의 유한합에 해당됨
그리고 굵은 점 사이의 간격이 충분히 좁아지면 리만적분에서 간격 길이 좁아지는걸 만족해서 g의 길이를 근사함
6. 그래서 g의 길이는 f의 길이보다 김
논리적인 과정은 이렇고 생각해낸 과정은 5 4 (예전에 풀어봤던)1 3 2 순정도일듯
뭐 변분법비스무리하게도 먼가 될거같기도한데 모르게씀 때려침
나도 좀 생각해봤는데 방식자체는 좀 다르지만 (내껀 더 비직관적임) 비슷하게 f아래 볼록인 piecewise linear랑 길이랑 관계랑 비슷한 명제 보였는데, 이렇게 안돌아가고 뭔가 더 fancy한 방법이 없나 궁금하네.
젠센스러운 머시기가 있을거같기도한데 1이 결국 삼각부등식(혹은 그냥 산술)이라 집어치웠음
선추 드림미다
너무 김