Calculus, Vol. 1:One-Variable Calculus (666 페이지)


Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus (673 페이지)




이 책은 대학 1학년생을 상대로 쓰여졌습니다.




우선 간단히 내용을 보면


Vol 1에서는


1. 집합론, 실수계 공리, 수학적 귀납법 등 미적분을 해석적으로 접근하기 위한 기본적인 내용을 빠르고 간단하게 정리한 후


2. 적분을 해석적으로 이끌어냅니다. 그리고나선, 삼각함수를 공리적으로 정의한 후 여기서 삼각함수의 적분에 대한 모든 공식을 유도합니다. 그 후 적분을 이용하여 연속함수를 정의하고, 중간값 정리 등.


3. 미분의 정의와 기하학적 의미를 얘기한 후, 미분과 적분을 관련짓습니다.


4. 그리고선 로그, 지수, 역삼각함수를 정의하고 대부분의 공식을 이끌어냅니다. 또한, 다항함수를 이용하여 일반 함수로의 근사값(테일러 급수)을 구하는것도 보여줍니다. 여기까지가 미적분입니다


5. 미분방정식의 기본을 가볍게 가르칩니다. (1차, homogeneous, 등등)


6. 가볍게 복소수를 다룬 후


7. 수열, 급수, 부정적분, 함수의 수열과 급수를 다룹니다.


8. 벡터, 벡터값 함수


9. 선형 공간 (Linear space), 선형 사상 (Linear transformation), 행렬



Vol 2에서는


1. Vol 1의 끝부분이 재탕되며, 그에 더하여 행렬식, 고유값, 고유벡터 등을 다룹니다.


2. 그리고선 미분방정식을 다시, 더 깊게 다룹니다.


3. 그리고선 벡터 해석학 (다변수 미적)을 다룹니다. 벡터값 함수, 선적분, 다중적분, 면적분 모두 다룹니다.


4. 해석적 확률론 약간


5. 수치해석 약간




저는 대학생때 (서울대, 20여년전) 김홍종 교수님의 미적분학 1, 2 책으로 배웠습니다.


그 당시에는 인터넷이 그리 활발하지 않아서 이런 책들이 있다는 사실조차 몰랐습니다. (같은 이유로, 물리학을 좆같은 "새대학물리"로 배움).


그리고 시간이 아주 많이 흐른 2019/20년에 Apostol의 Calculus를 다 읽었습니다.




우선, 이 책의 난이도는 꽤 높습니다. 서카포 정도를 제외하면 대학 1학년생이 이 책을 소화하기 힘들거라 생각합니다.


하지만 본인이 서카포 학생이거나 수학을 아주 잘하는 학생이라면, 대학 1학년때 이 책을 보는 것을 강하게 추천합니다.


김홍종 교수님의 미적분학 1, 2가 저희때는 (20여년전) 정말 개판으로 쓰여진 그 자체였고,


요즈음은 판개정이 어떻게 되었는지 모르겠지만, 그와 상관없이 이 책은 그냥 넘사벽으로 잘 쓰여졌음이 분명합니다.


단 하나도 버릴 부분이 없습니다 (는 아니고, 아래에 버릴 부분을 얘기함).




간단히 몇가지를 말씀드리면




1. 미적분학(+수열+급수+벡터해석까지) 부분은 "미적분을 정의하고 정리를 이끌어내려면 이 정도 수준은 되어야한다"를 가감없이 보여줍니다.


고등학교때 미적분을 배우면서 이론적으로 궁금했던 부분을 거의 모두 보여줍니다.


어떤 분들은 "그건 해석학에 가서 하면 되는데?" 라고 생각할수도 있습니다.


그건 그냥 선택의 문제일뿐, 저는 서카포 수준의 대학 1학년생은 최소한 이 정도 수준의 책으로 배워야한다고 생각합니다.


흔히들 미적분학 하면 Stewart나 Thomas의 Calculus 책을 떠올리시는 분들이 많은데, 솔직히 서카포 학생들은 대학와서


그런 책들을 볼 필요가 없습니다. 그 책들의 문제 수준은 서카포 학생들이 고등학교때 배우는 수준보다 훨씬 낫습니다.


그냥 의미가 없어요. 그러기 때문에 더 수준높은 책을 볼 필요가 있는데 (당장, 김홍종 교수님의 미적분학1/2 책은


스튜어트나 토마스 책보단 Apostol의 책에 훨씬 더 가깝습니다), 이 책이 그에 딱 알맞습니다.


학교에서 김홍종 교수님의 책이나 스튜어트/토마스로 가르친다면, 개인적으로 시간을 내서 Apostol의 미적분학을 읽기를 추천합니다.


정리하면, 스튜어트나 토마스의 Calculus는 서카포 학생들이라면 읽을 필요가 없음.


김홍종 미적분학보단 Apostol의 Calculus가 훨씬 훨씬 더 체계적이고 잘 쓰여졌음이 분명함.


이 책을 읽으면서 감동을 받은게 한두번이 아닙니다. 정말 정말 잘 쓰여졌습니다.




2. 미분방정식은, 나중에 미분방정식 강의를 따로 들을거라면 굳이 볼 필요는 없겠지만,


Apostol의 미분방정식 교재가 따로 없기때문에 "미분방정식을 Apostol 식으로 가르치면 어떻게 될까?"가


궁금하다면 한 번 읽어보는 것도 좋습니다. 페이지수도 많지 않고, 미적분학 부분에 비하면 훨씬 쉬우므로 진도도 금방 나갑니다.




3. 선형대수 부분은.. 아마 자연대/공대라면 다 따로 배울것이겠지만, 꼭 한 번 읽어보는 것을 추천합니다.


굉장히 잘 쓰여졌습니다. 선형대수 교재 하면 아마도 Friedberg/Insel/Spencer (줄여서 FIS)의 교재가


가장 정석적으로 잘 쓰여졌다고 평을 받는 것 같은데, 이 책의 선형대수 부분을 읽다보면 이게 FIS를


읽고 있는 중인지 Apostol을 읽고 있는 중인지 헷갈릴정도로 두 책이 비슷합니다.


제 생각엔 FIS가 Apostol의 전개 방식을 심각하게 참조하지 않았나 싶을 정도.. (Apostol Calculus가 훨씬 먼저 쓰여졌습니다). 


정말 잘 쓰여졌으므로.. 반드시 한 번 읽어보길 권합니다.




4. 벡터해석학.. 하면 아마도 Marsden이나 Susan 책을 보는 것 같은데, Marsden의 Vector Calculus를


해석학적으로 보면 이 책의 벡터해석학 부분이 될 것 같습니다. 위의 미적분학 부분처럼, 벡터해석 부분도


굉장히 잘 쓰여졌습니다. 간지러운 부분을 다 긁어줄 것입니다.




5. 확률론과 수치해석은 맛보기로 들어가 있는데, 아마 확률론도 다들 따로 배우겠지만,


이 책으로 맛보기하는 것도 좋을 것 같습니다. 양은 적지만 충분히 읽어볼만하구요.


수치해석은.. 안 읽어도 좋을 것 같아요. 아마 Vol 1과 2를 거의 비슷한 분량으로 만들려고 한 것 같은데,


그러다보니 수치해석 부분이 난이도가 확 올라갑니다. 그냥 가볍게 읽고 넘어가실려고 해도 가볍게 읽어지지가 않을정도로..


수치해석은 그냥 대충 눈으로 훑고 수치해석 책을 따로 보시는게 ^^






해석적으로 쓰여진 미적분학 책 하면 대개 Apostol, Spivak, 그리고 Courant 세 권이 추천되는데,


Spivak이나 Apostol이나 비슷비슷합니다 (Spivak을 대충 눈으로 훑어본 결과).


인터넷에 돌아다니는 미적분학 교재 추천중에 "Apostol은 어려운 미적분학, Spivak은 쉬운 해석학" 이라고


되어있는 것이 있는데, 그냥 둘 중에 하나를 보시면 될 것 같네요. 다시 말씀드리지만, 서카포 수준의 학생이면


Stewart나 Thomas를 보는건 시간 낭비입니다.




Apostol 책 한 번 보세요. 감동의 눈물이 흐릅니다. 그러면서 동시에 김홍종 미적분학에 대한 욕이 튀어나와요


(다시 말씀드리지만, 판개정 후 요즘은 어떤지 모릅니다. 다만, Apostol이 넘사벽으로 좋을거라고 추정되는 이유는,


"이보다 더 잘 쓰여질 수 있을까?" 라는 생각이 들 정도로 잘 쓰여졌거든요.) 마찬가지로, 물리학도 새대학물리라는


희대의 좆같은 책이.. 하 시팔.. 그 당시에 Halliday류의 원서로만 했어도 제 물리학 지식이 지금처럼 개판이지는 않았겠지.. 라고 자위합니다.




하여간.. Apostol의 Calculus 강추 강추 강추합니다. (저는 근처 학교 도서관에서 빌려봤습니다.


새 책을 사시려면 많이 비쌀텐데.. 학교에 있으면 빌려보시고, 없으면 어둠의 경로로...)