스케치 해봤는대 봐주셈


1. 열린구간 (a.b)가 주어졌을때 f^-1(a,b)가 열린집합이면 증명끝

2. f^-1(a,b)를 정리하면 {x in R : a<f(x)} and {x in R : f(x)<b} 가 되고 전자가 열린집합임을 증명하면 충분 (뒤에것도 비슷하게 풀림)

3. 앞에집합을 A라 하고 x in A라 가정. x의 근방 U를 잘잡아서 x sub U sub A면 증명끝 (sub은 포함기호임)

4. 결론에 반하여 x의 어떠한 근방을 잡아도 적당한 이례적인 y가 있어서 f(y)는 a보다 작음

5. 근방을 x의 1/n 반경 근방으로 잡고 이례적인 y들로 수열을 만듬. yn이라하자.

6. 만약 f(yn)이 수렴하는 부분수열이 있어서 z로 수렴한다고 가정 

7. 하지만 가정에 의하면 (x,z)는 적당한 근방을 가져서 f(x)의 원소를 담을수 없음. 근데 f(yn)을 잘 찾을수 있으므로 모순

8. 즉, f(yn)은 대략적으로 아래로 발산함, 요약하자면 f는 x근방에서 아래로 발산하고 (좌,우 둘다 아래로 간다고 보장못하는데 한쪽만 있어도 됨) f(x) 값만 점하나 찍혀있는 개형임

9. 이 개형은 주어진 조건을 만족할수가 없음 모순.