3.3.14.에서
(가)를 풀기 위해
a_0+a_1*t+a_2*t²+...가 basis인 것을 보이기 위해서 {1, t, t²,...}가 1) linearly independent하다는 거랑 2) 임의의 polynomial을 generate할 수 있다(이 방법으로 span하면 F[t]가 됨을 증명해보이려고 함)고 하는데여
2)는 obvious하고
1)은 a_0+a_1*t+a_2*t²+...=0이라 두고, 이게 항등식이니까
t=0 대입해서 a_0=0 얻고, 식 미분해서 t=0 대입해서 a_1=0 얻고... 반복...해서 for all i in I, a_i=0으로 linearly independent하다는 것을 증명하려고 하는데, 이 t=0을 대입하는 것이 적절한 방식인지 모르겠네여... 만약 아니라면 어떻게 풀어야하는지 알 수 있을까여ㅠㅠ 전혀 모르겠어여
(나)는 귀류법을 이용해서 finite basis {1,t,t²,...,tⁿ}을 가진다고 가정하는데, a_0+a_1*t+...+a_n*tⁿ+a_n+1*t^(n+1)이라는 polynomial은 generate하지 못하므로 모순. 이라는 식으로 증명하려는데 맞나여??
부탁합니다ㅜㅠ
- dc official App
애초에 가에서 선형독립을 보이는 부분이 틀림. 무한집합의 일차독립 증명은 '무한합'을 가지고 하는 게 아니라 무한집합의 '임의의 유한부분집합'의 선형독립을 증명해야됨
나는 F[t]의 임의의 유한부분집합 f1, ......, fn을 잡고 M=maxdegfi로 잡으면 저 유한집합이 M+1차 이상의 다항식을 생성하지 못하므로... 이런 식으로 증명하면 됨
그럼 나는 제가 한 게 대충 맞는 거 같구... 혹시 가 어떻게 하면 좋을까여ㅠㅠ 진짜 너무 모르겠는데 - dc App
미분으로 푸는거 아님 두 poly의 상등을 이용해야됨. 내가 선대군을 안봐서 모르겠는데 formal derivative를 정의했을꺼 같진 않은데..
1, exp(x), exp(2x)의 linearly independence를 조사할 땐 stackoverflow에 찾아보니까 미분해서 풀긴 하더라구여... - dc App
그 문맥은 안봐서 모르겠고 니가 놀고있는공간에 니가 아는 미분구조가 주어질수있을까
모르겠어여......ㅠㅠ - dc App
나 도 아이디어는 아는거같지만 완벽한 풀이가 아님 니가 말한형태의 basis에대해서만 모순을 얻었잖아
n이라는 게 일반성을 잃지 않는 예로 생각할 수는 없나여?? - dc App
n이 중요한게 아니라 모든형태를 고려를 안했다고 예를들어 1,t+1,t^2+5t,t^233 집합은 왜 basis가 안되냐? 정확한 풀이는 윗댓에 있다
감사함미다... 꼼꼼이 읽어볼게여 - dc App
119.149가 달은 댓글이 답이니까 곰곰히 생각해봐
임의의 polynomial에 대해서 0이 되는 것은 다항식의 항등에 의하여 임의의 정수 n에 대한 tⁿ의 계수가 모두 0이 되는 경우인 것만이 필요충분조건이므로 infinite basis라 하면 되나요? 이게 근데 "infinite"하다는 것을 증명하는 것이랑은 좀 연결이 안 되는 것 같아여 - dc App
다항식이 0이라는거의 정의가 뭔지 생각해보세요
임의의 polynomial에 대해서 0이 되는 것은 다항식의 항등에 의하여 임의의 정수 n에 대한 tⁿ의 계수가 모두 0이 되는 경우인 것만이 필요충분조건이므로 infinite basis라 하면 되나요? 이게 근데 "infinite"하다는 것을 증명하는 것이랑은 좀 연결이 안 되는 것 같아여 - dc App
그냥 수학 접어라