1. N 이 위수가 2인 군 G 의 정규군일때 N ⊂ Z(G) 임을 보이시오.
2. ϕ : G1 → G2 가 homomorphism 일때 K 가 G2 의 정규군 이면 ϕ−1(K) 가 G1 의 정규군 임을 보이시오.
3. p 는 소수이다. 이때 Zp×Zp →Zp 의 homomorphism 의 개수를 구하시오.
4. 군준동형사상(grouphomomorphism)f : Z12×Z6 →Z12 를f(x,y) = 9x 로 정의하자. f 의 핵을 K 라 할때 잉여군 Z12×Z6/K 의 위수를 구하시오.
5.
6. 위수가 5·7·47 인 모든군은 가환이며 순환적이다.
문제 난이도 갭이큰데 이거 왜푸는거임?
다 쉬운데스우
그럼니가풀어줘라
공부하면서 모르는거 모아놓은거라서 난이도 차이가 있어요 하나라도 풀어주신다면 절하겠습니다
1) N ={e,a} gag-1=a or e , e 면 a가 항등원소이므로모순 즉 ga = ag for all g in G /2)정의 3)(1,0) (0,1) 이 어디들로가는지 본다. 암거나다된다 즉 p^2 4)라그랑지 정리. 커널의 위수는 구해라
5) 그룹인건쉽다 . 군연산이 함수의 합성이된다. G 에서 Inn(G)로 가는 자명한 homomorphism을 생각하자 (g에서 alpha g로 보냄) 이제 ker이 Z(G)g임을 보이면 된다. x in ker (equiv) gxg-1 = x for all g (equiv) gx= xg for all g (equiv) x in Z((G)
6) 실로우정리에 의해, 주어진 군G은 G1 (order 5) 를 subgroup으로 가진다. 이는 normal이므로, (prime orderl ) 잘라서 G/G1 (order 7*47) group 생각가능. 반복하면 G iso G1xG2xG3,( order are 5,7,47)
G1xG2xG3는 이제 Z5 x Z7 x Z47과 동형이므로, 주어진 조건을 만족한다
왜 G가 G1xG2xG3랑 동형인지 알수가 없고 니논리대로면 order가 pqr꼴이면 다 순환군이라는건데 그것도 아님.
4번에 답 4맞나여??
아 맞네;;; 왜절케풀었지 다시풀겠음
맞는듯
실로우 3정리에 의해, order 47인 normal subgroup 가지고, 이는 유일하다. (갯수가 5*7*47를 나누고, mod 47로 1이어야함) G1이라고 하자. G/G1 의 order가 35이므로 cyclic이고 (실로우정리: order pq이고 q를 p로 나눈 나머지가 1이 아니면 cyclic) 따라서 abelian이다.
따라서 G의 commutator subgroup이 G1의 subgroup (성질) 이므로, order가 1 혹은 47이다. 그런데 7*47 , 5*47의 군도 각각 cyclic이므로, 위 과정을 반복하면 commutator subgroup이 order가 (1 or 47) and (1 or 5) and (1 or 7)임을 안다. 따라서 commutator
subgroup이 trivial 하고, G는 abelian이다.
이제 유한생성가환군의 기본정리에 따라 G는 Z5×Z7×Z47과 동형이고, cyclic이다
존재성은 엄밀히말하면 1정리
실로우 3정리에 의하여 비슷하게정의된 G1,G2,G3 가 각각 p 실로우 군으로 유일하고, 임의의 g in G대해 subgroup gG1g^-1도 같은 cardinality를 가지기때문에 저 유일한 p 실로우 군이 됨.즉 임의의 g in G 대해 gG1g^-1 = G1이므로 normal
잉 머지
47(mod7), 47(mod5) 가 1이아니기때문에 가능
subgroup이 유일하므로 normal이 정석 표현이긴하겠네 폰으로쓰다보니 조금씩 엇나간다 쏘리;
혹시 나한테 달은 답글인가? 미안함 내가 숫자계산을 잘못해서 풀이오류인줄 알았음. 그래서 바로지웠는데 칼답하네 ㄷㄷ
아 그랬구나; 공부해야되는데 손에안잡혀서 폰보고있어서그럼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
1 위수가 2면 Z2라서 가환이니까 자명한거 아닌가여
G의 원소와 가환인지는 모르져
글쓸게욤