Measure란 측정이다. 발가락 온도, 손가락 길이, 너가 만났던 여자친구의 키 등을 우리는 늘 measure한다.
마지막껀 측정 불가능할 수도 있음에 유의하자. 이게 Measure에서 아주 중요한 개념이 된다.


사람들이 가장 측정하고 싶었던 공간은 단연 우리가 살고 있는 세계이고, 여기서 좀 더 일반화된 공간인 n차원 유클리드 공간에서 넓이를 측정하고 싶었다. 아마 누군가는 중국에 있는 미세먼지의 부피를 구하고 싶을 것이고, 다른 이는 일본의 방사능의 양을 측정하고 싶을 수 있듯이... 아무튼 유클리드 공간 상에 있는 집합에 대해서 다음과 같은 세 가지 성질이 만족될 것 같은 것은 누구나 인정할 것이다.

어떤 집합의 넓이는 disjoint하게 잘라서 각각 넓이를 측정한 다음 더해도 똑같다.
회전, 대칭, 이동 변환에 대하여 넓이는 불변이다.
(0,1]^n 의 넓이는 1이다.

(Note : 1차원의 넓이는 길이, 3차원의 넓이는 부피이다)

아무튼 이 세 가지 성질을 만족하는 P(R^n)에서 [0,infinity]으로의 함수를 measure라고 사람들은 불렀다.

그러나, 우리의 직관과는 달리 이런 함수가 존재하지 않는다는 것을 사람들이 알아냈다. 이에 대해 가장 유명한 게 바나흐-타르스키의 역설이다. 넓이가 영이 아닌 공을 분해하고 옮기고 붙이다보면 넓이가 똑같은 공 여러개를 구성할 수 있다는 게 주된 내용이다.

그래서 사람들은 생각했다. 저 위의 성질들이 넓이와는 무관한가? 아무리 봐도 너무나도 직관적이어서 그렇지 않은 것 같다. 그러므로 저 성질들 중에 무언가 빼고 넓이를 정의하기는 불편하다. 그렇다면 어떻게 수학자들은 이 막다른 골목을 빠져나갔을까?

바로 니 여자친구를 측정하고 싶은 집합의 후보에서 빼버리는 것이다. 측정 불가능 한 것을 측정한다고 측정이 되겠는가?

그만 알아보도록 하겠다.

총총