[일반] 카발리에리의 원리에 의하면

[Fear(125.185)]

어떤 곡선함수가있을때
구간 a부터 b까지
모든 곡선이 길이 같아야하는거 아님?

[핑크베리(14.6)]

아니

[핑크베리(14.6)]

잘 읽어봐,,

[익명(121.141)]

....

[익명(123.108)]

카발리에리 원리와 비슷한 논증을 왜 곡선에는 적용할 수 없냐는 질문 같은데, 어떤 의미에선 곡선에도 잘 적용돼.

[익명(123.108)]

카발리에리 원리가 참인 이유는 곱측도의 적분에 대한 푸비니 정리가 있기 때문. R^3 안에 있는 입체 A의 체적은 A에서 1, R^3-A에서 0을 값으로 갖는 함수 χ(A)를 R^3의 르벡측도(이걸 3-측도라고 부르겠음)에 대해 적분한 값인데, R^3=R^2×R^1로 보면 3-측도는 2-측도와 1-측도의 곱측도이기 때문에 각각의 평면 R^2에서 정의된 함수 χ(A∩R^2)를 2-측도로 적분한 뒤 다시 1-측도로 적분해서 구할 수 있음. 이 계산의 의미를 살펴보면 χ(A∩R^2)를 2-측도로 적분할 때 우리는 A의 단면들의 면적을 구한 것이고, 단면적을 높이 방향으로 적분하면 부피가 된다는 뜻. 따라서 두 입체 A,B가 같은 높이를 가지고 단면적들도 모두 같다면 둘의 부피도 같음.

[익명(123.108)]

R^3 안의 곡선에 같은 논리를 써 보면? 곡선의 단면은 점인데, 점의 크기를 2-측도로 재면 항상 0이기 때문에 곡선의 '부피'는 0을 높이방향으로 적분한 값이고 역시 0이 됨. 애초에 곡선의 부피(곡선 위에서만 1인 함수를 3-측도로 적분한 값)가 0이기 때문에 올바른 결과이고, 모든 곡선의 부피가 0이기 때문에 매우 단순하게 카발리에리 원리가 참임

[익명(123.108)]

그러면 바탕공간을 R^3가 아닌 R^2로 바꾸면 어떨까? 여전히 곡선의 단면은 점이고, 점의 1-측도 크기(길이)는 0, 곡선의 2-측도 크기(넓이)도 0이기 때문에 카발리에리 원리가 성립. 마지막으로 바탕공간을 R^1로 두어서 곡선이 0이 아닌 1-측도 크기를 갖도록 해도 카발리에리 원리는 여전히 참인데, 왜냐하면 R^0={0}에 확률측도 P({0})=1, P({})=0을 주었을 때 1-측도는 P와 1-측도의 곱측도이기 때문. 다시 곡선의 단면은 점이고, 점의 P-크기는 1이기 때문에 곡선의 1-측도 크기는 곡선 위에서만 1인 함수를 1-측도로 적분한 값임. R^1 안의 모든 곡선은 구간 [a,b] 모양이고 이때 곡선의 길이는 b-a라는 사실과 잘 일치함.

[익명(106.102)]

개떡같은 질문에 어떻게 이렇게 찰떡같은 답을 달수있냐