[일반] 군론 관련 질문

[익명(prinzeuler)]

전공책은 아니고 그냥 일반인이 처음부터 읽으라고 쓰여진 책임

n은 임의의 양수, 2가 아닌 소수 p로 기약잉여류군에 관한 정리 증명중인데, 맨 마지막 문장인 "물론 mod p에서 보았을 때도 모두 다릅니다." 라는 부분을 잘 이해 못하겠어.

내가 따져봤을때 p는 2가 아닌 소수이므로 p-1은 짝수이고, s가 p-1와 서로소인 경우에만 mod p에서 보았을때 g로 나타낸 값들이 다른 것 같던데, 내가 뭔가 놓친게 있을까?

[ExHentai.org(nsa15464)]

이쯤되면 전공수학책의 말투를 반말에서 존댓말로 바꾸고 연습문제 뺀게 교양수학책인가부다.. - dc App

[익명(prinzeuler)]

전공책 수준이 저정도임? 그럼 생각보다 전공책 읽을만할거같은데

[익명(223.33)]

m이 phi(p^n)의 약수이기 때문이 아닐까요

[익명(prinzeuler)]

phi가 머임? 책에 그런 단어나 용어는 나온적 없는거같은데 알려주면 고맙겠어

[익명(223.33)]

φ(n)은 n이하 n과 서로소인 자연수의 개수인데 (Z/nZ)*의 order이기도 합니다

[익명(112.171)]

이쯤되면 그냥 전공책 읽는게 나을 것 같기도 하네여 ㅎㅎ

[ScARfaCE(kayuaao)]

저거 갈루아 이론의 정상을 딛다였나 그거지? 그거 말이 교양용이지 걍 전공책에서 말투만 바꿨다고 봐도 되겠드라 걍 전공책부터 봐

[익명(prinzeuler)]

그럼 전공책 추천하는거 있어? 수학 관련 아는사람 하나도 없고 나도 아는게 없어서

[ScARfaCE(kayuaao)]

완전 첨부터 하는거면 프렐라이가 좋다더라 그냥 참고만 해놔 씹무위키보면 완전 좋다고 보긴 좀 그렇길래

[익명(prinzeuler)]

ㄱㅅㄱㅅ

[익명(61.78)]

일단 (Z/pZ,+)~(Z_p,+)는 덧셈이라는 하나의 연산에 대해 위수가 p인 덧셈군이잖아. 그런데 이 친구들은 +,×라는 두 개의 연산에 의한 체라고 볼 수도 있거든 0만 빼고 모든 원소들이 곱셈에 관한 역원을 가지고 있지

[익명(61.78)]

그럼 Z/pZ~Z_p에서 0을 제외한 집합은 곱셈×이라는 하나의 연산에 관한 군이겠지? h in Z_p^*(0만 뺀 집합. 정확히는 곱셈의 역원이 존재하는 원소를 모은 집합)에서 라그장주정리를 응용하면 ㅣhㅣ ㅣ ㅣZ_p^*ㅣ=p-1 이잖아.

[익명(prinzeuler)]

어 난 전공생이 아니라 이 책만 봤는데 이 책에선 라그랑주 정리란게 안나와서 잘 모르겠어 열심히 써줬는데 못알아먹어서 미안해

[익명(61.78)]

일반적으로 군에서 a=b. => ac=bc인데 특별히 정역-그러니까 (Z_p,+,*) 또는 (Z_p^n,+,*) 같은애들-은 ac=bc면서 c!=0 a=b가 성립해 (단,!=는 등호가 아니다) 대우느낌으로 a!=b 이고 c!=0 이면 ac!=bc가 성립해

[익명(61.78)]

modp에서 s!=0이고 0,1,2,...p-1 각각은 서로 모두 다르므로 0,s,2s,...,(p-1)s도 서로 모두 다르겠지

[익명(prinzeuler)]

아 어느정도 무슨말인지 알겠다. 지금 말해준거 좀더 생각해보면 알 수 있을거같아. 도움 줘서 고마워

[익명(prinzeuler)]

어 좀 막혔는데, 아무리 연산해봐도 s가 p-1이랑 서로소가 아니면 저게 성립 안하는거로 보여. 단적으로 s가 p-1이면 바로 터지는데 혹시 s가 p-1이랑 서로소라는 보장이 있어?

[익명(110.70)]

s는 p^(n-1)의 약수 즉 p의 배수라서 (p-1)하고 최대공약수가 1이라서 서로소야

[익명(prinzeuler)]

어째서 s가 p^(n-1)의 약수가 되는지 알 수가 없어. 관련 정리가 책에 나온적도 없고 비슷한 말도 나온적이 없는것같아. 혹시 알려줄 수 있을까?

[익명(61.78)]

라그장주 정리 없이 설명이 가능할지는 모르겠지만 최대한 노력해볼게. 우선 유한개의 모임에서 한 구성원a을 선택한 다음(시작점) 시작다른 구성원b를 선택하자. 이런걸 계속 계속 하면 언젠가는a라는 구성원을 두 번 선택하게되는 차례가 올거야. 이게 유한군에서의 연산에 대한 원소의 위수라고 하는데 이 위수는 모임전체인원 수를 초과할 수 없어.

[익명(61.78)]

mod n 에서 즉, Z_n에서는 '수를 센다(counting)'는 개념으로 부터 매우 자연스럽게 덧셈과 곱셈 연산을 생각할 수 있는데 덧셈이 주어지면 또 매우 자연스럽게 역연산(뺄셈)을 생각할 수 있는데 곱셈이 주어질 때는 역연산(나눗셈)이 자연스럽게 정해지 않아. 그런데 Z_n의 부분집합 중에 곱셈과 나눗셈이 자연스럽게 정해지는 부분집합을 생각해 볼

[익명(61.78)]

수 있어. 그리고 n의 부분 중 그 곱셈으로 부터 자연스럽게 나눗셈이 정해지는 그 부분모임은 n과 서로소라는 특징이 있고 그 부분모임의 수를 phi(n)이라고 읽어 위 댓글 중 표기가 있을거야. (안타깝게도 이 부분모임은 덧셈 뺄셈이 문제가 생기긴해)

[익명(61.78)]

초기 인원이 n이 아니라 p^n이면 즉, p^n하고 서로소인 1이상 p^n이하의 수 phi(p^n)은 얼마나 될까? p의 배수들을 제외하면 { p,2p,3p,...,p^(n-1)p}를 제외하면 phi(p^n)=p^n - p^(n-1) =(p-1)p^(n-1)

[익명(61.78)]

m=s(p-1) 은 p^(n-1) (p-1)이하 즉, s는 p^(n-1)이하 정확히는 약수가 될거야. p^(n-1)의 약수는 1을 제외하고 p의 배수이므로 (p-1)하고는 서로소야

[익명(prinzeuler)]

아 위에서 m이 φ(p^n)의 약수라는 말이 나왔는데, 그와 같은 맥락으로 마지막에 s가 p-1이랑 서로소라는 결론이 나온거지? 그럼 m이 φ(p^n)의 약수인 이유가 뭔지 알려줄 수 있어? 정말 귀찮게 해서 미안해

[익명(prinzeuler)]

아 찾은거 같아, 라그랑주 정리에 의해서 m이 φ(p^n)의 약수라는거지? 그런데 라그랑주 정리를 모르는 상태에서 m이 φ(p^n)의 약수라는 사실을 알 방법이 있어?

[익명(61.78)]

그 질문 역시 ‘연산’과 ‘소수’의 특징 때문에 그래. 여러명이 앉았는데 한명 건너 뛰고 공을 전달하자. 모임수가 짝수이면 공을 받는 사람만 받겠지? 그런데 모임수(phi p^n )와 건너뛰는 간격 h가 서로소라면 필연적으로 공이 돌아오면 처음사람이 아니라 나머지만큼 옆의사람이 받고 한 바퀴 또 돌면 또 나머지만큼 옆사람이 받고 결국 전원 다 받아

[익명(61.78)]

문제에서 h^s간격으로 공을 돌리면 phi p^n = p^n -p^(n-1) 차례에 다시 처음 사람이 공을 받는(모든 사람이 공을 받는)게 아니라 p-1명의 사람 (공을 받는 사람)만 공을 받잖아. 즉 간격(h^s)의 주기(위수)는 phi p^n 과 서로소가 아닌 약수가 될거야 이제 간격이 h일 때는 어떻게 될지 생각해봐

[익명(prinzeuler)]

음 왤지 이해 못했어. 그래도 확실히 맞을테니까 이해할 때까지 생각해볼게. 꾸준하게 자세히 답변 해줘서 고마워!

[익명(125.135)]

저 책 난이도 뒤로갈수록 더 어려워질건데 ㅋㅋ

[익명(prinzeuler)]

그러게.. 그래서 좀 걱정이라서 모든챕터 3번씩 읽고 다음 챕터로 넘어가려고