p는 2가 아닌 임의의 소수, n은 임의의 자연수고 (Z/pZ)*은 p에 대한 기약잉여류군 말하는거야.
맨 마지막 문장 '물론 mod p에서 보았을 떄도 모두 다릅니다' 라고, 모두 다른게 자명하다고 하는데 나는 납득이 안돼서 저 문장을 증명하는게 목표였어
합동 나타내는 기호 어캐만드는지 모르니까 등호로 대신 쓸게
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오류 없을까? 전공생이 아니라 증명 많이 안해봐서 하면 증명할때 항상 틀렸는데 이번 증명 옳은지 확인해주면 고맙겠어
읽어줘서 고마워!
갤에 자주 안와서 최신글 링크보고 답변 남길게
전체적으로 보면 괜찮은데 부분적으로 걸리는 것만 말할게 1. 6번 째줄, 0~p-2 사이에 b가 존재한다. 무슨의도로 작성했는지는 알겠는데 표현이 좀 애매하다. b는 위에 자연수라 했으니 1<_b<_p-2 라고 해도 충분할 것 같아
알았어 문장보다는 수학기호가 깔끔하다는거지?
2.번은 생각해보니 맞는말 같아서 지웠어. 미안 근데 논의영역을 정수론 그 중에서도 Z_p, Z_p^n 만으로 한정 한다면 사실상 위 증명과 아래 증명은 거의 같은말이야. 두 정수a,b는 서로소이거나, 서로소가 아니거나 둘 중 하나만 반드시되거든
문장도 상관없어. 문장표현이 이상하다는 거야. 수학기호로 쓸데의 장점은 간결하다는정도야. 위 증명에서 gcd(s,p-1)=1을 (귀류법) 증명해놓고 또 다시 gcs(s,p-1)=1을 증명하는 것 같아. 동그라미1번 명제가 참임을 알고 있다면 따라서 본명제는 참이다. 라고 증명을 끝내도 좋아.
오타나느데 gcs가 아니고 gcd(:최대공약수, great common divisor 인가 그럴거야) 자연수를 0,1,2,... 라고 보는 학자들도 많지만 아직은 1,2,3,... 으로 보는 학자가 더 많아서 한 말이야
아 내 의도는 위 문단에서 (s, p-1) = 1이어야만 명제가 성립한다는걸 밝히고, 아래 문단에서 (s,p-1)은 언제나 1이 되기에 명제는 항상 성립한다라고 증명하고 싶었던건데 그렇게 보이지 않는거야? 내가 봤을때는 동그라미 1번만으로는 부족해보였는데 그렇지 않은 이유를 좀 알려줄 수 있어?
두 자연수 a,b에 대해서 (자연수는 1이상) 두 자연수 a,b의 소인수 분해를 생각하면 최대공약수는 첫째, 1이다. 둘째, 소수p,q,r,...들의 적당한 곱으로 표현된다. 그런데 첫 증명에서 소수들의 적당한곱a인 경우는 모순 따라서 최대공약수는1. 즉,서로소이다.
따라서 첫째 증명만으로 충분, 둘째 증명만으로도 충분하지. 유한군이며 순환군 (a) 의 위수가n이면 Z_n에 덧셈군과 동형이거든 a의 위수와 군(a)의 위수는 같아
무슨말인지 정확히 모르겠는데, 두 자연수 a,b에 대해 GCD는 두가지로 나뉘고, 1인 경우랑 소수들의 적당한 곱으로 나타나는 경우가 있다는 의미지? 근데 첫번째 문단에서 (s, p-1) 이 적당한 소수의 곱으로 나타나면 명제 성립하지 않는다고 하는거고. 그리고 순환군 (a)라는게 a를 generator로 가진 순환군이란거지? 그리고 Z_n 은 Z/nZ를 나타내는거 같은데 맞지?
어 맞아
보통 (s,p-1)이 1이 아닐 때 그 값을 a라고 두고 너가 한 것처럼 q와 b를 둔다면 읽는 사람들은 자연스레 (b,q)=1 이란 사실을 이용하겠지? 라고 생각하게 되는데 아니어서 좀 당황했어. 아무래도 비전공생이라고 하니 증명을 많이 읽지 않아서 그런 것 같아. 인내심없는 채점자는 더 안읽고 그을 것 같아. 네 증명이 옳아도 말이야...
헐 알았어 충고 고마워
전공생이 아니라면 주게 왜 당연하지? 라고 생각할 수도 있겠지만 분수를 기약분수로 바꾸면 분모,분자는 서로소인 것을 생각하면 어느정도 이해는 될거야.
음... 첫번째문단 마지막줄에 ‘그러므로 서로소가 아니면 모드p에서 모두 다르지 않으므로 서로소이다’ 라고 했는데 그것은 잘못된 거야. 서로소 임을 보이기 위해 아직 보이지 않은, 보이고 싶어하는 명제인 ‘모드p에서 모두 다르다’를 이용했기 때문이야.
아 서로소일때 모두 다르다는걸 보이지 않아서 잘못됐다는거지?
너가 정확히보이고 싶은 명제는 ‘1,g,g^2,... g^p-2가 모드 p^n에서 다른데 h로 나타냈을 때 지수가 s(p-1)이하이기 따문에 모드 p에서도 다르다’ 아냐? 그리하여 네가 가정을 하길 (s,p-1)이 1이 아니라고 했지. 그런데 결과가 모드 p에서 모두 다르지 않다고 나왔잖아? 그렇다면 (s,p-1)=1이어야만 한다는 걸 보여야 하지 않아??
즉 (s,p-1)=1임을 보이고 난 후, 그 사실을 이용하여 모드p로 모두 다르다는 것을 보여야 겠지.
두번째 문단에서 (s,p-1) = 1이란걸 보였잖아. 내가 보기엔 (s, p-1) = 1이 아닐때 명제가 성립하지 않는다는것만 증명하고, (s, p-1) = 1일때 명제가 성립한다는걸 보이지 않은게 문제인데 그게 아니야?
(s,p-1)=1이란 사실을 보일 때 ‘(s,p-1)이 1이 아니면 mod p에서 모두 다르지 읺기 때문에 모순이된다’고 했는데, 뒷문장은 아직 증명되지 않은 보이고 싶은 사실이잖아...
어어 그러니까 (s, p-1) != 1일때 안되고, (s, p-1) = 1일때 된다는걸 보여야하는데 (s, p-1) != 1일때 안되는 거만 보이고 증명되지 않은 사실 가져와서 모순으로 퉁쳐서 잘못되었다는거지?
그렇다면 (s,p-1)이 1이 아닌 상황에서는 네가 보이고 싶은 명제가 거짓이 되는 거 아니야?
응 맞아. 확실히 첫번째 문단에서 (s, p-1) = 1일때 명제가 성립한다는걸 보이진 않았는데, 적어도 두번째 문단에서 (s, p-1) = 1이란걸 보였으니 (s, p-1) != 1이라서 명제가 틀릴 일은 없다는거지. (s, p-1) = 1일때 명제가 성립한다는거 보완하고 올게
아까 내가 말한 사실을 이용해서 다시 증명을 시도해봐,, 서로소일 수밖에 없는 이유. 아마 서로소인 건 맞을것 같아. 기억이 가물가물
넌 참 신기하고 대단하다. 전공생도 아닌데 머리빠개지는 공부를 왜해 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 뭐 나도 임용 붙은 후에도 계속 깊이있는 수학 공부를 하긴 할 거지만 ㅎ 리만기하나 대수기하같은거...
흠. 수정하여 올릴 때에 저 책의 statement가 다 나오게 찍어서 올려줄래? s가 뭔지도 모르고 봐서 찜찜해,,
s는 저기서 처음 등장하고 저기서 쓰는게 끝이야. 그냥 m이 p-1의 배수니까 m = s(p-1)이라고 적절히 정한거뿐이야
89쪽에 의해 modp에 대해 원시근h가 존재. 이 때 h in Z_p 이기도 하지만 원시근이라 함은 ((h) ,×)=((Z_p)^*,)임을 뜻함 (76쪽) 책의 표현에 의하면 Z_p=C_p를 말하는거임(49쪽)
58쪽에 의하면 라그랑주 정리(순환군ver) m은 phi(p^n)의 약수 h in ((Z_p^n)^*,×)임을 생각하다 Phi(n)은 80쪽에 나옴 정의1.7 이랑 정리1.10 Z_n^*의 성질은 73쪽에 나옴. n이하자연수 중 서로소의 모임. 그 이유는 윗문단에 나옴
아 그냥 책만봐도 m이 phi(p^n)의 약수인걸 알 수 있어서 바로 해결되는구나. ㄳㄳ
아마 두 군에서 h의 위수가 같지 않을거같아
이해한 것 같아서 사족인 부분은 지웠어. 또 궁금한 것 있으면 그 때 그 때 질문해