[일반] {z:|z|≤R}가 compact임을 어떻게 보일까

[익명(125.137)]

z는 복소수고 일단 Heine-Borel 안쓴 증명을 알아보고싶은데 있을까 

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[익명(39.7)]

우욱씹

[익명(210.179)]

하이네보렐 증명을 보면 그냥 cpt 정의를 쓴것뿐임

[익명(125.137)]

잘 모르겠네 그냥 정의가 그런거라해도 또 따로 증명을 하던데

[익명(210.179)]

그게 싫으면 sequentially compact를 보이셈

[익명(125.137)]

어떻게 보일수있는거ㅓ야?

[익명(59.15)]

cpt의 정의로 뭘 쓰고싶은데 - dc App

[익명(59.15)]

cpt는 열린덮개를 사용한 정의도 있고, 일반적인 metric에서의 closed and bounded 또는 일반적인 metric 의 complete and totally bounded와 동치임. 또는 모든 수열이 수렴하는 부분수열(또는 코시수열)을 갖는다(바이어슈트라스) 는것도 metric이 있을때 cpt랑 동치임 - dc App

[익명(125.137)]

모든 수열이 수렴하는 부분수열을 갖는걸 이용해보고 싶은데 가능할까?

[익명(223.38)]

볼차노 바이어슈트라스 정리에 의해 유계인 무한집함은 반드시 집적점을 가짐. 이걸 주어진 집합안의 임의의 무한수열에 적용하면 됨. 그 집적점에 가까운 점이 무한히 많으므로 그들을 선택해서 수렴하는 부분수열을 만들 수 있음. - dc App

[익명(223.38)]

만약 {xn} 이 유한하다면 그거 나름대로 또 수렴하는 부분수열은 자명하게 만들 수 있고. - dc App

[익명(125.137)]

볼차노 그거는 R^n상에서만 증명했는데 C가 R^2와 전단사 함수를 가지니까 쓰는게 가능한건가? 왜 C에서 사용가능해?

[익명(59.15)]

R에서 증명할때 사용한거랑 같은 방법을 쓰면 됨. 원을 y축으로 잘라서 x축이 0 이하인 영역, 0 이상인 영역으로 나눔. 둘중 적어도 하나에는 무한히 많은 항이 들어있어야하고, 그걸 A1이라고 함. 그리고 그 A1이 x>0이라면 0.5 를 기준으로 나누고 또 둘중 무한히 많은 항을 갖는 영역을 A2라고 하고.... - dc App

[익명(59.15)]

그런식으로 계속 해서 x축에 대해서만 nested interval theorem을 사용함. 그럼 원의 한 직선이 나오겠지? 그 직선의 x축 근방에는 무한히 많은 수열의 항이 있을거고. 이제 그짓을 또다시 y축에 대해서 하면 됨. 그렇게 nested interval을 한번 더 쓰면 그 직선의 한 점을 특정할 수 있고, 그게 집적점임 - dc App

[익명(59.15)]

아 R^n 에서의 증명을 아는구나 잘못읽었네 R^2랑 C랑 같아서 그런거 맞음 - dc App

[익명(125.137)]

대충 뭔지 알거같다 시간내줘서 고마워!!

[익명(125.137)]

방금 막 C에서 증명끝낸거라 뭐 좀 그렇지만

[코커널(116.37)]

모든open cover가 finite subcover를 가지는걸 보이려는건 상당히 무모한 행동임. 컴팩트의 정의를 이걸로 택한 이유는 이론 전개가 편해서(정리들을 증명하기 쉬워서)임. 반면 구체적으로 주어진 공간이 실제로 컴팩트인걸 보일때는 정의대로 보이는것보다는 이미 알려진 정리들을 써먹는게 훨씬 합리적임 당장 [0,1]이 컴팩트인걸 정의대로보이는것도

[코커널(116.37)]

아주 귀찮은 일임

[익명(125.137)]

하긴 그냥 그걸로만 하려하니까 머리 터지겠더라