uniformly continuous 한 함수 두개를 붙이면 (당연히 두 함수의 정의역은 붙어있고, 경계면에서 연속) 그 붙인 함수도 uniformly continuous하겠지?
근데 그게 당연한 것 같은데 증명이 안된다.
어찌됐든 f(x):A->R 이 uniformly continuous할 때
|x-u|<delta => |fx-fu|<epsilon에서 x,u는 A에 속하니까 함수를 붙인 시점에서 들어갈 수 있는 x와 u값은 늘어난 거잖음
각각의 구간에서의 delta값 두개의 infimum을 delta값으로 쓸려고 해도 경계면 근처에서 이상해짐..
어떻게 하면 보일 수 있을까?
그냥 continuous 보일때는 sequential criterion썻는데 uniformly continuous 보일 때는 sequential criterion이 없어..
근데 그게 당연한 것 같은데 증명이 안된다.
어찌됐든 f(x):A->R 이 uniformly continuous할 때
|x-u|<delta => |fx-fu|<epsilon에서 x,u는 A에 속하니까 함수를 붙인 시점에서 들어갈 수 있는 x와 u값은 늘어난 거잖음
각각의 구간에서의 delta값 두개의 infimum을 delta값으로 쓸려고 해도 경계면 근처에서 이상해짐..
어떻게 하면 보일 수 있을까?
그냥 continuous 보일때는 sequential criterion썻는데 uniformly continuous 보일 때는 sequential criterion이 없어..
붙인 점에서 연속이란 조건으로부터 임의의 엡실론대응하는 델타 제로 하나 찾아두고, 첫번째 함수에 만족하는 델타1이랑 두번째 함수에 대해 만족하는 델타2잡고 델타를 그 셋의 미니멈으ㅗ 잡으면 되지 않을까여
연속이면 델타에 변수가 u가 들어있을 수도 있자나여 그럼 델타를 그 셋의 미니멈으로 잡으면 uniformly continuous하다고 하기엔 힘들 것 같은데..
위 그림처럼 A=[a, b], B=[b, c]에서 각각 uni conti고 b에서 붙인다고 생각하겠음 두 구간 A, B에서 e/2에 대응하는 d1, d2를 잡으셈 그러면 x, y가 [a, c]에 속하고 거리가 d=min(d1, d2)보다 작다고 하면 x, y가 둘 다 A 또는 B에 생기면 함숫값은 e/2보다 작아짐 x, y 중 하나는 A에 속하고 하
나는 B에 속하면 lf(x)-f(y)l<=lf(x)-f(b)l+lf(b)-f(y)l
우변이 e보다 작으므로 끝
아하 답변 고마워용
붙이는 두 구간사이에 갭이 있으면 윗댓글대로 풀면안됨 이것도 생각해보셈
갭이 있는 게 아떤 상황인지 풀어서 말해줄 수 있음?
말그대로인대 [a,b] 랑 [c,d]의 상황도 생각해보라고. b
시발 글깨지는거 실화냐.. 디씨는 전설이다.. 알아서 알아먹으셈
그니까 b처럼 겹치는 곳 풀칠하는 게 아니라 [0 1], [2 3]같은 경우란 거지?
그상황에선 그냥 델타 두개의 미니멈 잡으면 되지 않나여
두개의 미니멈 만으로는 안될수도 있음
ㅇㅎ 델타반경이 다른 영역을 침범하지 않을만큼 작게 잡아야겠네여