고등학교 수학에서 정말 많이 쓰는 방법인데 반례들도 있을 것 같아서 여쭤봅니다.
보통 도함수의 좌우 극한이 같다면 미분 가능하다. 라고 판단하는게 대부분의 경우이고 수능에서도 이방법이 매번 통해왔죠.
하지만 이 방법은 x>=a에서 또는 x<=a에서 도함수가 연속임이 확실할 때만 논리적으로 가능한 것 같습니다.
특히 도함수의 극한값이 달라 도함수가 불연속이더라도, 정의에 따라 도함수의 함수값이 존재하기만 하면 미분가능한 것인데 도함수가 불연속이라고 미분 불가능한 것은 아닌것이 아닌지 질문드립니다.(아니면 도함수가 불연속인 경우에 함수값이 거의 항상 존재하지 않는걸까요? 도함수가 불연속인데 원함수가 그려지는게 안 떠오르긴 하네요.)
보통 도함수의 좌우 극한이 같다면 미분 가능하다. 라고 판단하는게 대부분의 경우이고 수능에서도 이방법이 매번 통해왔죠.
하지만 이 방법은 x>=a에서 또는 x<=a에서 도함수가 연속임이 확실할 때만 논리적으로 가능한 것 같습니다.
특히 도함수의 극한값이 달라 도함수가 불연속이더라도, 정의에 따라 도함수의 함수값이 존재하기만 하면 미분가능한 것인데 도함수가 불연속이라고 미분 불가능한 것은 아닌것이 아닌지 질문드립니다.(아니면 도함수가 불연속인 경우에 함수값이 거의 항상 존재하지 않는걸까요? 도함수가 불연속인데 원함수가 그려지는게 안 떠오르긴 하네요.)
미분 가능해야 도함수를 논할수 있는거잖아
그건아니긴함
@ㅇㅇ(110.13) 5년전글에다가 ㅅㅂ ㅋㅋ
?
실수 전체집합이 아니라 x=a를 제외한 구간에서 미분가능함이 확실헐때 a에서의 미분 가능성을 확인한다는 의미입니다
도함수는 좌우극한값만 존재하고 같으면 그 함숫값이 반드시존재함. 증명은 로피탈로 가능.
아닌것이 아닌지는 그냥 긍정문이랑 같은말인가
https://m.kin.naver.com/mobile/qna/detail.nhn?d1Id=11&dirId=1113&docId=235720447&qb=64uk66W067aA7ZWo7IiY&enc=utf8§ion=kin&rank=3&search_sort=0&spq=0&from=detailSearch&listType=search
- dc App
+다르부정리 검색 ㄱㄱ - dc App
f' 의 연속성과 f의 미분가능성은 전혀 무관함 - dc App
f'이 x=a에서 연속이든 불연속이든 f'(a) 가 존재하기만 하면 f는 x=a 에서 미분가능한거임 - dc App
이걸 모르는 멍청한 출제자들이 가끔 f'(0)을 구할때 f'(x) 의 0으로 극한을 취해서 구하기도 하는데, 이건 f' 가 연속이라는 가정이 없으면 틀린 풀이임. - dc App
f'이 연속이면 그 점에서 미분가능하나, 미분가능하다고 f'이 연속이진 않음 - dc App
위에서 지적한대로 f'(x)의 x->0일 때의 극한이 존재하면 f는 0에서 미분가능하고 f'(0)과 극한값이 같음.
맞음. 하지만 그 근거를 댈 수 없는 고등학생수준에서는 틀린 풀이임. - dc App
고등수학에서는 반드시 그렇게 판단해야할 경우가 많이 나옵니다. 그렇게 판단안하면 못푸는 문제가 많이 출제됐어요.해도 되는 이유는 간단해요. 그런 반례의 함수를 다루지 않도록 조건을 문제에서 줍니다. 교육과정에서 다루지도 않구요. 깊이 파고들면 다르부정리같은 것도 보고 고민을 많이 해봐야해서 고등학생이시라면 그냥 그렇구나~ 하고 넘길 것을 추천드립니다.