안녕하세요.
벡터해석학 책을 공부중인데요 (Marsden으로 하고 있습니다),
다변수함수 f(x1, ..., xn)가 다음 조건을 만족하면 주어진 점(k)에서 미분가능함 이라고 정의하고 있습니다.
- df/dx1, ..., df/dxn 이 주어진 점 k에서 존재함 (d는 편미분입니다)
- 위 편미분 함수들이 모두 주어진 점 k에서 연속
간단히 2변수 함수를 보면, f(x, y)가 미분가능하다는 의미는 df/dx, df/dy가 (x, y)=주어진 점에서 존재하고, df/dx, df/dy가 그 점에서 연속이다 라고 하고 있습니다.
그런데, 주어진 함수의 모습은 그대로 두고 x-y축을 회전시킨다면 (예를 들어 축을 a라디안 만큼 회전)
여전히 f는 해당 점에서 미분가능이어야하지 않습니까?
그 얘기는 굳이 df/dx, df/dy가 아니더라도, 선형독립적인 두 방향벡터 v1, v2에 대해 (예를 들면 v1=x, v2=x+y)
df/dv1, df/dv2가 주어진 점에서 존재하고 이 둘이 그 점에서 연속이면 미분가능이라고 말 할 수 있을까요?
제 질문이 명확한지는 모르겠는데요, 다르게 얘기하면 df/dx, df/dy에서 x와 y를 고른 이유가 이 둘이 서로 독립(심지어는 perpendicular)이면서
기본 벡터이기 때문인거 아닌가요 (계산의 편의성, 직관성 등등에 의해)?
즉, 미분가능성은 굳이 x, y에 대한 미분이 아니라 xy평면상에서 서로 독립인 두 벡터 v1, v2에 대한 편미분의 존재와 연속성만 보여주면 되는거 아닌가요?
이걸 1차원으로 가져온다면 df/dx가 아니라 df/d(cx)에 대해 (c는 0이 아닌 실수)에 대해서도 똑같이 성립할 거 같은데요..
궁금합니다.
그 체인룰이라고 아시나요
Directional derivative
체인룰도 알고 directional derivative도 아는데요, 제가 궁금한건 그 체인룰도 결국은 중간 변수, 예를 들어 f(u, v)가 있고 u=g(x, y), v=h(x, y)일때 결국 f의 x에 대한 미분을 u, v의 x에 대한 변화량과 f의 u, v에 대한 변화량으로 나타내는 거잖아요. 그거 말고... 미분가능성 그 자체에 대해서 얘기하는겁니다. 어떤 함수 f(x, y)가 미분가능하다는게 x, y에 대한 편미분이 존재하고 그 편미분이 연속이면 f가 그 점에서 미분 가능하다는건데.. 이게 굳이 x, y에 대한 편미분이 아니라, 해당 점에서 두 선형독립적인 unit vector에 대해서 편미분이 존재하고 그것들이 연속이면 미분가능하다는거랑 동치이지 않냐는게 제 질문..
Marsden 책을 본 적이 없어서 뭐라해야될진 모르겠는데 pma만 가도 다변수 함수의 미분은 정의역에서 미소변화량에 따른 선형 근사로 정의 하기해서 니가 말한대로 basis에 의존하지 않음 ㅇㅇ
아.. PMA에 가면 그런 내용이 나오나요? 제가 아직 그 수준까진 안가서요. 감사합니다. 좀 더 공부해보겠습니다. 네, 정리하면 님 말씀대로 "미분가능성이 특정 basis에 의존하는가?" 가 제 질문이었겠네요. 정답은 아니오 인 것 같구요. 감사합니다!