마음같아선 lim을 적분 안에 넣어서 0이라고 답을 내고 싶은데,, 접근을 못 하겠음 ㅠ 뭘 써야 할지 감이 안 옴
EVT랑 산술기하 등으로 식 조작해도 잘 안 나옴
이거는 위에는 해결했는데 아래를 모르겠음. mvt를 쓸 것 같이 생기긴 했는데? 모르겠음..
이것도 아래 질문임
e^(itz)의 테일러 급수의 0항부터 n항까지의 부분합을 Sn이라 할 때
Fn(z)=int(-1 to 1)f(t)Sn(t)dt라고 잡은 뒤, Fn이 F로 uniform converge하면 analyticity가 보장됨을 이용해서 해결함
근데 사실 위 풀이가 맞는지도 확실힌 모르겠고,, 무엇보다 모레라 정리를 써서 어떻게 보이라는 건지 감이 안 옴 ㅠㅠ
모두 다 서울대 대학원 입학시험 기출문제입니다. 도움 좀 ㅠㅠ
마지막꺼 well defined는 자명하지않나 피적분함수가 cont, bdd이니깐 그리고 continuity는 엡실론줬을때 e^z의 continuity at z=0을 이용해서 델타잡으면 z0의 델타근방의 z에 대하여 |F(z)-F(z0)|<엡실론 곱하기 상수인거 쉽게 보여짐 모레라는 그냥 폐경로잡고 거기서 F적분할때 푸비니로 적분순서 바꾸고 코시구르사쓰셈
푸비니를 다변수할 때만 배워서 생각을 전혀 못했는데 흠.. 그럼 적분 순서가 dt dz에서 dz dt로 바뀌고, e^(itz)는 analytic이니까 코시 구르사 쓰면 적분 0 나오고 끝?
ㅇㅇ dz적분이 사실상 적당한 폐구간위에서의 적분이니깐 해야하는 이중적분이 직사각형위에서 연속함수의 이중적분이라 푸비니 문제없음
ㅈㅅ한데 '해야하는 이중적분이 직사각형위에서 연속함수의 이중적분이라'이게 무슨 소리임?
폐경로를 C라 했을때 C에서의 F의 적분을 생각해보셈 F를 정의대로 풀어쓰고, C를 적당히 z=z(s)로 매개화해서 복소적분 정의대로 대입하고나면 직사각형위에서의 이중적분이잖슴
지금 졸려서 머리가 잘 안 돌아가는데, 직사각형이라는 게 실수축([-1, 1])x허수축(z=z(s))로 봐서 직사각형인 거..?
걍 푸비니를 써도된다는걸 알려주고싶던거였음 C를 z=z(s), a<s></s>
아 댓글깨지네 아몰랑
ㅋㅋㅋ 감사해요 이거랑 아래 거 더 생각해보고 안 되면 질문 다시 하겠음
두번째건 mvt맞을듯 좀더 생각해보셈 첫번째껀 예전에 똑같은 질문올라왔었는데 기억이 잘 안나네 [0,a], [a,1]로 쪼깨서했엇나 쨋든
넵 mvt 쪽으로 좀 더 생각해볼게요,, 처음 문제는 혹시 기억나는 게 더 없으신가요 ㅠ
두번째꺼 그 (a)에서 잡은 오픈인터벌보다 조금더 작은 클로즈드인터벌 잡고 거기서 |f'|의 최댓값을 고려하면 쉽게 되는듯
9. dominated convergence theorem 11b. f(x)-f(y0)가 y0에서 zero고, f'(x)는 y0 근방에서 nonzero임 8. 위말대로 후비니 정리 쓰는게 제일 쉬움. 다른 풀이는 stein complex analysis thm5.4참조
저 9번 ldct로 풀려고 했는데 bdd되는 함수의 적분값이 유한하게 되는 그런 함수를 못찾았어여.. 근데 복소함수인데도 dct 가능? 실함 얕게만 공부해서 잘모름
혹시 11번 g=lf'l-(f(x)-f(y0))^1/2라 했을 때 g가 연속이고 g(y0)>0이니까 (a)처럼 g가 항상 양수인 y0의 근방이 존재한다 해도 됨?
9번 dct아니네ㅈㅅ. 값이 phi(0)에 무슨 상수배로 나오는거 같음
phi를 먼저 상수로 놓고서 위 극한을 구하셈. 일반적인 phi에 대해서도 그담에 간단함
두번째 세번째는 윗댓들이 충분히 설명해줬고. 첫번째는 DCT쓰는 풀이가 있을수 있으려나 모르겠네. 우선 x=e tan t로 치환하고 정리하면 int_0^(arctan(1/e)) 2i*phi(e*tan t) dt까진 쉽게 나옴. e가 0으로 가면 arctan(1/e)가 pi/2로 가는거 확인하고 e*tan t가 어떻게 변하는지 그래프 그려봄
저 밥먹고 이거대로 풀어볼게요 ㅠㅠ 감사감사 근데 푸비니 정리 관련해서.. 위에 댓 중에 적분영역이 직사각형? 이부분은 아직 이해가 안가네요..
e가 0으로 가면 e*tan t가 arctan(1/e) 근방을 제외하고 0에 다가간다는걸 알수 있음. 이제 phi가 continuous라는 조건을 씀. epsilon은 이미 쓴 문자니까 a, b로 쓰면 forall a exists b s.t. x<a></a>
댓 짤렸네... (1) phi가 0에서 continuous 쓴다 (2) e*tan t가 b보다 작은 범위를 찾는다 (3) phi는 compact 위에서 연속이니 절댓값의 최댓값 M이 존재하고 (arctan(1/e) - arctan(b/e)) < pi/2 - arctan(b/e)는 0으로 수렴한다. (4) 답은 pi*i*phi(0)
Morera: triangular contour integral이 0이면 analytic이다. 임의의 triangular contour는 (Riemann sum 생각하듯이) 직사각형의 극한합으로 채워넣을 수 있고 각각의 직사각형에 대해 푸비니를 적용. f(t)*e^(itx)가 bounded이므로 삼각형-직사각형의 적분값은 0으로 수렴
저도 이번에 시험치는데 같이 붙읍시다 화이팅
근데 저 8번 기출에 없는거같은데 몇년도 문제임? 처음보는 문제라 순간 당황했네
8번 내가 시험친다 생각하고 좀더 자세히 써봄. Statement of Morera's Theorem: Let f be a continuous function on a region G. If int_T f = 0 for every triangular contour T of G, then f is analytic on G.
Let T be a triangular contour on C. To show that the integral is zero, we will show the following lemma. Lemma: Let T be a triangular contour on C. Then for every e > 0 there exists contours r_i
such that for each z in T there exists w in r_ for some i such that dist(z, w) < e(the number of index i is finite). Proof: Fix e > 0 and let I = 0. For any point z in T except its vertices,
one can draw a rectangular contour r in T one of its vertices is z. (그림 그려서 설명). Consider the area of interior of T and the the area generated by rectangular contours r_i. By following the above
process, one can find that the difference of two areas is strictly decreasing, hence converges to zero. Since every rectangular has nonzero area and if there is a point z such that |z-w| > e
there is a series of rectangular contours such that sup {dist(z,w) : z in T, w in r_i} goes to zero. The remainder points are T's three vertices. Since T is continuous contour, the the its distance to
r_i's goes to zero. Now, we proved lemma. Let r_1, ..., r_n be a rectangular contours s.t. its maximal distance to T is less than e. Consider int_T F and sum int_(r_i) F. Since F is contiuous,
the difference of two contour integrals is less than the length of T times sup{|F(z)-F(z+w)|: dist(z,w) < e}, which goes to zero as e goes to zero. Moreover, by Fubini's theorem, sum int_(r_i) F is
same as sum int_(T×[0,1]) f(t)*e^(itz)dzdt. By Cauchy integral formula, this integral is zero. Therefore, |int_T f| goes to zero as e goes to zero. Since e is arbitrary, we obtain int_T f = 0, as desi
기분 나쁘게 as desired에서 짤리냐... 핵심은 (1) 삼각형을 사각형으로 최대한 가깝게 쪼갠다(이게 lemma인데 여기서 분량 다 잡아먹음) (2) 삼각형 적분 - 사각형 적분은 F가 continuous니까 0으로 수렴한다 (3) F의 사각형 적분은 푸비니와 코시에 의해 0이다
내가 사각형에 정신팔려서 헛짓한거 같은데 T=r이 triangular면 r: [0,1]→C라 할 때 int_r F = int_0^1 F(r(s))r'(s)dt = int_0^1 int_{-1}^1 f(t)e^(itr(s))r'(s)dtds고 Fubini에서 dsdt로 바꿔주니 0이라고 쓰면 충분한듯. 미분불가능한 세 점은 예외처리하고
아! 님 결국에 r을 정의역이 [0, 1]인 연속함수로 매개화하니까 복소수 [0, 1], 그리고 F의 정의에 나오는 [-1, 1]을 cross해서 직사각형을 만든다는 거죠? 거기서 푸비니 정리하고
아니 미분가능한 함수로 매개화해야하는군요
아아 ㅋㅋ [0, 1]도 실수네용 착각
rectifiable이면 충분함. 근데 리만스틸체스 난리치기 귀찮으니 triangular(piecewise smooth)로 잡아서 매개화함
오 감사용 이해했어요 ㅎㅎ