넓이 증명편집
유클리드의 피타고라스 정리 증명은 닮음꼴 이론을 사용하지 않으므로서 순수하게 기하학적이다.다음은 유클리드가 피타고라스 정리를 증명하기 위해 사용한 아이디어이다.{\\displaystyle {\\overline {AC}}^{2}={\\overline {AO}}\\cdot {\\overline {AG}}\\qquad ,\\qquad {\\overline {BC}}^{2}={\\overline {OB}}\\cdot {\\overline {BF}}}
{\\displaystyle {\\overline {AC}}^{2}+{\\overline {BC}}^{2}=\\left({\\overline {AO}}\\cdot {\\overline {AG}}\\right)+\\left({\\overline {OB}}\\cdot {\\overline {BF}}\\right)}
{\\displaystyle {\\overline {AC}}^{2}+{\\overline {BC}}^{2}={\\overline {AB}}^{2}}
닮음 증명편집
오른쪽 그림에서, 점 H는 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발이다. 이때 삼각형 ACH와 삼각형 ABC는 닮음이 되고, 비슷한 이유로 삼각형 CBH와 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서{\\displaystyle \\mathrm {{\\frac {AC}{AB}}={\\frac {AH}{AC}}} ,\\,\\ \\mathrm {{\\frac {CB}{AB}}={\\frac {HB}{CB}}} }
이 성립한다. 이 두 식을 정리하면{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {AC\\times AC=AB\\times AH} \\\\\\mathrm {CB\\times CB=AB\\times HB} \\end{aligned}}}
이 두 식을 더하면{\\displaystyle \\mathrm {AC\\times AC+CB\\times CB=AB\\times AH+AB\\times HB=AB\\times (AH+HB)=AB\\times AB} }
이 되고, 따라서{\\displaystyle \\mathrm {AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}} }
가 성립한다.인터넷에 나와있는 논증기하들 보면 전부다 그냥 닮음이니까 이 분수식이 성립한다고 떡하니 주는데비례식안세우고 아 닮음이면 바로 이런 분수적 표현이 가능해! 해서 쓴건지
비례식 거치는걸 생략한건지 모르겟어요
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