1) h(x) = f(x) - g(x)라고 할떄, {x IN [a,b] | f(x) != g(x)}가 유한집합이므로
h(x) = 0
= t (t는 임의의 실수)
인 h(x)의 불연속점은 유한 개 존재하며 h(x)는 유계함수이다.
따라서 연속이 아닌 점이 유한개인 유계함수 f:[a,b]->R 은 [a,b]에서 적분 가능하다는 정리에 의해 h(x)는 적분 가능하다.
여기서 g(x) = f(x)-h(x)이고, f와 h가 [a,b]에서 적분 가능하므로 g(x) 또한 적분 가능하다.
이때 h(x)의 [a,b]에서의 적분값이 0이므로 f(x)의 적분값 = g(x)의 적분값이 성립한다.
(어째서 h(x)의 적분값이 0인지는 교과서 예제 활용해서 보일거임)
2) 함수 f를 f(x)>=0, f(x)<0으로 나누는 분할 P에 대해 분할되는 구간을 {a1,a2,...,an}이라 할때
이다. 이때 임의의 실수 x,y 에 대해
이므로
이다. 따라서
이 성립한다.
풀이과정에 뭐 이상한 부분 없음?
2번은 한줄로 풀수있는거 같은데? 절댓값 적분안으로 들어가면 커지고 그게 0 이니까 원하는값에 절댓값 씌운게 0임 그래서 절댓값없어도 0. 그리고 f가 적분가능한지 왜안보임
그거는 처음 생각했던건데 너무 바로 가는거같아서 긴가민가했음. 근데 f가 적분가능한거 따로 보여야하나? 으기;
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아 그러네... 지적 감사합니다 다시 생각해보겠음
메져쓰면 편하지않냐
a.e f=g니까 당연히 적분값이 같지