[일반] 해석학 함수열 질문

[익명(211.229)]

fn이 구간 X에서 함수 f로 균등수렴하는 연속인 함수열이다.

(1) X에 속하는 수열 xn이 X 의 한 점 x0로 수렴하면 lim(fn(xn))=f(x0)임을 보여라.

(2) 또 역이 성립하는지 밝히고 성립하지 않는다면 반례를 제시하여라.

(2)번 반례 혹시 생각나는거 있어?

[익명(182.227)]

fn(x)=(x^2+nx)/n, X=R

[익명(182.227)]

아까 실수로 X=[0,1]라고 썼는데 그건 잊어줘. 일단 unif.conv가 아닌건 따로 보일 수 있고. xn→x0면 적당한 bounded interval I가 존재해서 xn이 I 위의 수열이고 fn이 I에서 unif.conv.라서 (1)을 적용할 수 있음

[익명(182.227)]

구간이 bounded interval만 말하는거면 잘 모르겠네. 느낌상 역 성립할거 같은데

[익명(182.227)]

X=(0,pi/2)인 경우. fn(x)=(tan(x)+nx)/n. fn은 tan(x)+x로 수렴하지만 균등수렴은 아니고 마찬가지로 xn이 x로 수렴하면 fn이 unif.conv.한 I를 잡을 수 있음. 이제 closed interval 보여야겠네

[익명(211.229)]

난 역이 "fn이 구간 X에서 함수 f로 균등수렴하는 연속인 함수열이다. lim(fn(xn))=f(x0)이 성립하면 X에 속하는 수열 xn이 X의 한 점 x0로 수렴한다." 이거인줄 알았엉 ㅠㅠ. 그래서 균등수렴하는 fn과 lim(fn(xn))=f(x0)이 성립한 함수열을 생각하다보니 많이 힘들었던거 같아. ㅠㅠ 집합론부터 다시 공부해야할듯...하

[익명(182.227)]

니가 말한건 간단한 반례 있음. fn = 0이면 끝남. closed interval 집중해서하면 풀수있을거 같은데 지금은 잘 모르겠다. Arzela-Ascoli 적용 될거같음

[익명(211.229)]

아니야 내 머가리속 오류가 있었단거 깨닫게 해줘서 그것만으로도 고마워!! 그냥 궁금한건데 반례 어케 팍팍 떠올라?

[익명(182.227)]

그냥 아무거나 우당탕탕 때려박았더니 얻어걸린겨

[익명(175.223)]

역((1) -> fn이 연속인 f로 균등수렴)이 성립할 필요충분조건은 X가 컴팩트한거아님?

[익명(211.225)]

그게 바로 나오나? 나는 f가 연속(또는 fn이 equiconti) 보이는게 힘들었음

[익명(110.70)]

X가 컴팩트하다면 항상 x0(in X바)에 수렴하는 부분수열이 X에 있는데 컴팩트니까 그런 x0는 항상 X에 있음 따라서 f가 균등수렴하지않으면  "항상 어떤 x = x0 (in X)를 포함하는 어떤 open disc에서도 균등수렴 안함" 인 x0가 X에 존재하고 이는 (1)에 모순.

[익명(121.184)]

내가 막힌부분이 모든 open disc에서 균등수렴 안하는 x0가 있으면 (1)에 모순된다는건데 그게 trivial하게 나오나? 그거 안되겠어서 equiconti로 돌아갔음

[익명(39.7)]

역으로 X가 컴팩트하지 않으면 먼저 유계일 경우 f가 균등수렴하지않도록 "~"을 만족하는 x = x0 (not in X) 를 잡아서 x (in X) 에서는 모조리 (1)이 가능하거나 유계가 아니면  "~"를 만족하는 x0가 어떤 유계인 부분집합을 잡아도 아예 없도록 할 수 있음 즉 반례가 생김

[익명(121.184)]

|fn(xn)-f| > e면 lim fn(xn) = f(x0)고 lim|f(xn)-f(x)| >=e까진 나오는데, f가 conti인지 보장이 안돼서 막혔음

[익명(39.7)]

아 계속 칠판쓰듯이 쓰고 지웠는데 양해좀 일단 내가 답글에서 역을 좀 바꿔썼는데 fn이 연속이라는 전제가 아니라 f가 연속이라고 함 그니까 먼저 너말대로 가정한거지

[익명(39.7)]

f가 연속임을 보이진 않고 맞으니까 걍 넘어갔네..

[익명(121.184)]

(1)이면 연속임이 자연스럽나? X=[0,1], fn=x^n처럼 (1) 만족 안하면 f가 연속 아닌 예시가 있어서 마냥 자명해보이지가 않았음. 그래프 그리면 당연해보이는데

[익명(175.223)]

잠만 이제보니까 내가 역을 이상하게 판단했네 fn이 연속인 f로 수렴 => f는 unit conv 이걸로 풂 ㅋㅋ (1)을 만족하는 fn 이지만 f는 불연속인 경우가 당연히 있다고 생각함 미안..

[익명(175.223)]

그리고 추가로 f가 연속인건 자연스러운듯 xn을 정말 임의로 잡을 수 있으니까 x0에서 불연속이면 xn을 fn(xn) 을 f(xn)과 비슷해지도록 잡아주면서 xn -> x0 이도록 하면 되니까

[익명(121.184)]

아냐 같이 고민해줘서 고마워 땡큐땡큐. 스택익스체인지 검색 무진장 하는데 전부 f가 연속인거 가정하드라. 좀 더 고민해보고 올려봐야겠다

[익명(121.184)]

나도 연속 왠지 될거같은데 계속 어디 하나 아다리가 안맞아서 막힌다

[익명(117.111)]

풀었당!!!

[익명(117.111)]

Claim: f is continuous. (Proof) Fix x in X. Assume that f is discontinuous at x. Then there exists e>0 and (yn) in X s.t. yn → x and |f(yn)-f(x)| > e

[익명(117.111)]

Since lim_{m→infty} fm(yn)=f(yn) for each n, there exists mn s.t. m>mn → |fm(yn)-f(yn)| < e/2. WLOG let m1

[익명(117.111)]

(전댓글 짤림) mn are strictly increasing. Define xl = yn where m_(n-1) < l <= mn(let m0 = 0).

[익명(117.111)]

Now, |f(xl)-f(x)| <= |fl(xl)-f(xl)| + |fl(xl)-f(x)|. LHS > 0, but (i) |fl(xl)-f(xl)| < e/2 since l>mn and xl=yn and

[익명(117.111)]

(ii) xl→x implies fl(xl)→f(x) and |fl(xl)-f(x)|

[익명(117.111)]

아나시발 댓글또짤려

[익명(117.111)]

l이 충분히 커지면 RHS의 두번째항이 e/2보다 작기 때문에 LHS<=RHS에 모순됨. 따라서 f는 연속. Remark는 X가 컴팩트하다는 조건을 안썼다는거임

[익명(117.111)]

4번째 답글에서 LHS>0을 LHS>e로 수정

[익명(117.111)]

3번쨔 답글에서 m_(n-1) < l <=mn 을 mn < l <= m_(n+1)로 수정하고 x1=x2=...=x_(m1)=y1로 정의

[익명(117.111)]

혹시 아무거나 써라 K교수님 과제인거면 레퍼런스 꼭 달아줘

[익명(117.111)]

X가 반드시 컴팩트해야한다 아까 저친구랑 다른 풀이인데 (i) X는 반드시 bounded. 이유: X=R에서 정의한 fn의 restriction으로 생각하면 fn은 f로 수렴 but uniform수렴 X하므로 반례가 존재

[익명(117.111)]

(ii) X는 반드시 closed. X에 속하지 않는 limit point a가 존재한다 가정하고 (a-r,a+r)과 X의 intersection은 항상 nonempty. WLOG (a-r, a)과 X의 intersection이 항상 nonempty.

[익명(117.111)]

WLOG r=pi/2고, fn을 [0,pi] 바깥에선 전부 0, [0,pi/2]는 fn=(tan(x)+nx)/n, [pi/2,pi]에선 x=pi/2 대칭이라 하면 pointwise 수렴이지만 unif. 수렴은 아님. 즉, X가 컴팩트하지 않으면 (1)=>균등수렴이 아닌 반례가 위와같이 항상 존재함