[일반] 선대질문

[선대그켬(175.223)]

Linear operator T가 rank가 r이야

T-invariant subspace W가 있는데, 이게 dimension이 r이야

이 때 T의 특성다항식을 구하는 일반적인 방법 있음?

[ns(qwer2357)]

그거만가지곤 불가능. W가 예를들어 N(T)의 subspace면 W는 언제나 T-invariant니까 별다른 정보를 주지 못함. 물론 T|W가 full rank면 W의 기저랑 N(T)의 기저로 전체를 만드니까 x의 몇제곱 한거에 T|W의 특성다항식 곱한꼴이 되긴 하지

[ns(qwer2357)]

일반적으론 T의 subspace W가 있을때 T|W의 특성다항식과 quotient map으로 유도된 V/W에서 정의되는 T mod W함수의 특성다항식의 곱으로 쓰여지긴 하는데 뭐 그건 현대대수 배우고나서 보통 보는거고

[지잡(175.223)]

그럼 W가 N(T)에 없고, T|W가 full rank면 그렇게 된다는거지? 그럼 최소다항식은 그냥 T|W의 특성다항식인가?? 이거 알려면 뭘 봐야해?

[ns(qwer2357)]

Upper triangular block matrix로 표현되는 행렬의 특성다항식이 각 block의 특성다항싱의 곱이다 만 알면 됨. 말한 상황에선 W+N(T)가 전체라서 W의 기저랑 N(T)의 기저 합해서 행렬 표현하면 좌상단에 T|W의 행렬표현이 나오고 아래는 다 0나와서 증명됨

[지잡(39.7)]

와... ㄱ..갓 ns형 고마워..