이는 신규기호 =의 의미를 설명하는거니까 =의 정의 아닌가?
공리라면 ZFC집합론의 언어는 집합, 원소 그리고 ∈로 되어있으니까 이것의 뜻을 규정하는게 공리인데
이 공리는 셋 중에서 어느 것의 뜻도 규정 안하는거 아닌가?
[일반] 집합론에서 axiom of extension은 왜 axiom임?
익명(119.203)
2019-01-21 17:46
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=는 무정의 용어고 집합의ㅡ상등을 와연공리로 도입하는거 - dc App
그러니까 걍 외연공리를 정의로 쓰면 =를 정의할 수 있는거 아니냐고
등호 =를 신규기호로 도입하는 것은 앞뒤가 바뀐 일이라서 외연 공리로 집합의 상등을 정의하는 것.
왜 앞뒤가 바꾸니 일임? FOL+equality에 =가 이미 있어서? 그럼 FOL without equality에서는 저걸 정의로 할수 있는거아니냐?
그럴 듯.
공리라는 게 정의도 되잖아여..
정의나 공리나 머가 다른 것;
난 둘이 완전히 다른거라고 생각했는데.. 예를들면 합집합은 공리로 써야되지만 교집합은 공리가 필요없고 그냥 정의로 충분하고..이런 뜻에서..
신규기호를 도입하여 그것에 의미를 부여하는 게 정의 아닌가요?
FOL(with equality)에서 작업한다고 가정하고, Ext에서 사용하는 관계 ∀X ( X∈A ↔ X∈B ) 를 "set-equality" 라고 하자. Ext의 의미는 이 set-equality가 first-order equality =과 같다고 공리적으로 명시해주는거야. 이게 공리로 명시되어야 하는 이유는, set-equality가 first-order equality가 되기 위한 공리들 중 equivalence axioms (reflexive, symmetric, transitive) 까지는 항상 만족하지만, congruence axioms까지 만족하는지는 structure, 심지어 model에 따라 달라지기 때문이야. (다만 ZFC의 모델들 중에서도 만족하지 못하는지는 잘 모르겠음. 허나 아래 결
과를 보면 있기는 한데, explicit하게 construct 하지는 못 하지만 존재할 것 같음. 아니면 사실 construction도 있는데 내가 모르고 있거나.) ZFC나 ZF에서 벗어나면, ZF+urelement axioms 등 여러 공리계에서 set-equality가 first-order equality와 꼭 자동적으로 같지는 않음을 볼 수 있어.
위에 말한 결과라는건 "그럼 ZF 또는 ZFC에서는 Ext를 빼도 문제가 없냐?" 에 대한 답이야. 일단 답부터 말하자면 문제가 있어. 왜냐면 ZF/{Ext}는 ZF 보다, 그리고 ZFC/{Ext}도 ZFC 보다 strictly weak한 공리계이기 때문이야. 이 때문에 위에서 ZF/{Ext} 또는 ZFC/{Ext}의 모델 중에서도 set-equality와 first-order equality가 동의하지 않는 경우도 있다고 추정한거기도 하고.
오.
그렇구나. 대충 이해하겠는데, 그런데 congruence axioms는 뭘 말하는거야? ∀x∀y (x=y -> (p(x,x)<->p(x,y)))를 말하는거야?? 사실 FOE가 되기 위해 그 두 가지 공리를 만족해야 된다는걸 처음 듣는데, 혹시 이 부분 참고자료 알려줄 수 있음?
관계랑 함수가 정확히 변수 치환에 대해서만 같다는 걸 시사해주는 그 조건들 말하는 거 아님?
(자유 변수 치환)
그 부분 맞아. 일반적으로는 유한 변수에 대한 논의로 확장하지만. 참고자료라고 하기에는... 그냥 first order logic에서 equality의 정의가 reflexive + function congruence + relation(predicate) congruence 다 보니... equivalence relation 운운한건 sym trans가 나머지 셋에서 유도 가능하기 때문에 끼워 넣은거고.
아하, 고마워!
참고로 FOL-equality를 기반으로 하는 ZF의 경우 =를 쓰지 않고 Ext를 구성하기도 하니 이 경우는 =를 set-equality로 정의할 수는 있지. 다만 이 경우는 필요가 아닌 편의의 문제가 돼.
그러면 FOL-equality에서 =를 set-equality로 정의하면 그걸로 끝인거야? 아니면 그렇게 정의하고 더해서 공리로 ∀A∀x∀y(x=y → (x∈A → y∈A))를 정해둬야 되는거야? 아무래도 후자겠지? FOL-equality에서 집합론 전개하는 책도 있음?
공리로 정해두지. 다만 그렇게 정하더라도 FOL기반과 FOL-equality 기반 structure들이 반드시 같을 필요는 없어. 뭐 사실은 같았다! 같은 결과가 나올 수 있겠지만 증명으로 설득되기 전 까지는 일반적으로는 다르다고 생각할래 =ㅅ= FOL-equality에서 전개하는 집합론 서적... 까지는 모르겠지만 discussion은 여러개 있는걸로 알아.
그렇구나 직관적으로 같을것 같은데 같다는 증명이 되어있는건 아닌가보네. 그리고 방금 든 의문인데, 왜 set-equality를 ∀X ( A∈X ↔ B∈X )로 안하고 거꾸로 한거야? 이게 더 직관적인 것 같은데, 두 가지가 같은 거야? 당연히 같은건가... ㅠ
혹시 discussion이라도 아는 게 있으면 알려주라! 답변 고마움!
같은거 맞고 set-equality의 정의 선택에 특별한 의미는 없어. 디스커션은 MO에 쳐보니
https://mathoverflow.net/questions/34281/first-order-logic-without-equality-and-set-theory
이런게 있기는 한데 답변 봐서는 유용한 결과르 이어지지는 않는 모양이네.
이런 얘기들은 어디서 봄? 집합론이나 수리논리 책들에 같이 있나?
그런 것도 있고 아닌 것도 이씀