[일반] 카테고리 공부할 때 처음에 두 가지 functor를 배우잖아

[수math교(april0424)]

covariant functor와 contravariant functor 이거.

전자가  합성의 방향을 보존하고
후자가  합성의 방향을 역전한다는데

이 두 functor의 역할이나 의의(왜 배우는지?)를 좀 알 수 있을까?

카테고리를 첨 보고 있는데 처음 부터 좀 막혀

발췌는 LANG 대수야.

[익명(39.7)]

functor가 있어야 서로 다른 category 간의 관계를 설명할 수 있으니까?

[수math교(april0424)]

일종의 전개를 위한 도구라는 거징?? 예를 들면 학부수학으로 말하면 동형사상이나 준동형사상 이런거 배우고 적용하는 것 처럼?

[익명(39.7)]

도구의 어감처럼 피상적인건 아닌데 homomorphism 생각하면 이해가 쉬울 것 같아 비유가 아니라 실제로 예를 들어서 group의 homomorphism은 group을 형식적으로 category처럼 생각했을때 (즉 단 한개의 object에 morphism이 group의 원소, morphism의 합성은 group에서의 연산) 두 group 간의 homomorphism이 functor랑 같은 거지

[익명(39.7)]

근데 랭에 예시 많으니까 그거 쭉 읽어보면 왜 저게 필요한지 쉽게 납득갈걸 대표적으로 topological space를 fundamental group으로 보내는거

[수math교(april0424)]

응 읽어보고는 있엉. 근데 contra같은 경우, 합성을 역전시키닌깐 좀 혼란스러워. 너무 고정관념이 있는걸까;;;; 그럼 Category A, B가 있을 때 A에서 B로 가는 covariant functor이 존재하거나 contravariant functor가 존재하면 그거 자체가 어떤 의미가 있는건 아니징?? 예를 들면 불변량???이런거에서

[익명(39.7)]

contravariant랑 covariant는 본질적으로 다른건 아니고 그냥 category의 morphism들 자체가 방향이 정해져 있으니까 그거 때문에 나뉘는 것 뿐이지... 애초에 함수라고 생각 안하고 단순히 방향을 가진 무언가라고 생각하면 morphism들 방향만 바꿔도 그대로 category잖아

[익명(39.7)]

contravariant functor의 실용적인 예로는 대표적으로 Hom(-,X), (extension functor를 알면 Ext(-,X)도) 가 있고 이거 말고는 거의 안 다룰걸

[수math교(april0424)]

고마워 아직은 내가 내공이 부족한 듯 해서. 정말 부딪혀 봐야 할 거 같아. 사실 예제들이 추상적이어서 내가 좀 이해 못하는 걸 수도 있겠다 생각해. 친절하게 설명해줘서 감사해 ㅠㅠ