제곧내다
σ:R → C이 field embedding이면 C/σR이 algebraic extension이냐?
AC를 잘 써서 반례를 잡을 수 있을 듯한 느낌도 드는데 구체적인 방법을 모르겠다
왜 이게 궁금하냐면
예를 들어 아래 Lang에서 캡쳐한 페이지를 보면 L/σF 가 algebraic하다고 가정하잖아?
이게 항상 성립하지는 않을 테니까 가정한 거겠지 아마.
다른 예시로 이인석 대수학을 보아도 L이 F의 algebraic closure인 경우의 같은 명제에서
L/σF가 algebraic closure이라는 가정을 추가로 하고 있다
(수정: L이 F의 algebraic closure일 때) 성립하지 않는 예시를 찾아보려고 했는데 잘 안되더라고.
그래서 F = Q, R 같이 친숙한 것으로 두고 놀아보고 있었다
Q의 경우는 할게 없고 지금 R의 경우를 해보는데 막혔으
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참고:
sigma의 존재 자체가 이미 C가 R의 field extension이라는 소린데
여기서 sigma가 R-embedding이라고는 안 했으니까 σR하고 R은 다를 수도 있음. 어찌되었건 C는 σR의 field extension이긴 하겠지
그럼 degree가 2가 아닐 수가 있음?
아마도? 확실히는 모르겠음. degree가 2가 아닌 예시를 구체적으로 찾진 못했음. 내 예상과는 다르게 identity가 아닌 σ가 없을 수도 있겠지
degree 2는 맞음 왜 아닐거라 생각함 그냥 확장하면 되는건데
그냥 확장을 어떻게 하는데? 설명 부탁
그냥 sigma를 C끼리의 field isomorphism으로 확장시키면 되는 문제잖아
어떻게 확장했는지 모르겠는데, 예를 들어 내가 방금 본문에 추가한 Thm 2.8(Lang)을 보면 그렇게 확장한 embedding이 onto라는 결론을 위해서 C/σR가 algebraic 이라는 가정을 하고 있음. surjectivity는 어떻게 얻은 거임?
내가 지금 잘못아는건가? 나는 지금 dummit foote 보고 하는 말임
dummit foote edition하고 페이지 알려주면 나도 확인해보겠음
3판인가 Field Theory단원 첫챕터 Chapter14 Secion1 마지막 정리 보셈
내가 잘못기억하고 있는 걸수도 있음 일단 Chapter 13 14 중 하나에서 초반에 나옴
윽 못찾겠네
확장해도 σR의 algebraic closure가 C가 아닐 수가 있어서 C끼리의 isomorphism이 안될 수 있음
다시 말해 C가 C와 동형인 field를 transcendental extension으로 가질 수 있음
음 근데 그게 그렇게 되나? transcendental 잘 빼가지고 곱셈도 만족하게끔 만들 수 있음? 지금 basis 얘기 나온거보면 벡터공간까지는 오케이. 근데 체까지 되나?
아니 당연히 transcendental basis가 생성하는 field 말하는건데 벡터공간이 왜 나옵니까요
그니까 그 basis를 체가 되도록 잡을 수 있음? 그런 얘기자체를 처음 들어봄
아 잘못 생각했네 뭔 소린지 알겠음
C/R은 degree 2니까 algebraic이고 당장 R/Q만 따져도...
R/Q는 algebraic이 아닌데스우
정확히는 C/Q가 반례
아닌거찾는거아니였냐
맞는데 저기서 L이 algebraic closed래서
아 텍스트읽어보니까세팅을 잘못했네
(1) 일단 σR≠R일 수도 있으니까 [C :σR] = 2인지는 모를 것 같고
(2) C/Q은 반례가 맞네.
(3) 근데 난 L이 F의 algebraic closure인 경우에 관심이 있어서 이 경우를 생각하고 있었는데 본문에 실수로 이 점을 빠트렸음. Q일 경우에는 할 게 없다고 써둔 것도 이것 때문
근데 L이 대수적 폐포도록 제한하면 반례가 없을걸?
왜 없는지 설명 가능한가?
그게 algebraic extension이니까
그리고 Lang이 좀 특이한게 embedding을 그냥 드러내놓고 쓰네 보통 그냥 생략하지않나?
L이 F의 algebraic extension 이라고 해서 σF의 algebraic extension일 필요가 있는 건가.
그게 궁금한거면 그것도 반례가 있음. 예를 들어서 R/Q의 transcendental basis를 몇개 빼서 R'/Q를 만들면 R'는 R과 동형일거고 (basis 갯수는 같으니까) C/R'는 transcendental임 그래서 L/σF가 algebraic이란 가정은 뺄 수가 없는거지
아하 transcendental basis가 내 이해의 구멍이였네. 땡큐