잘못생각한줄 안걸 잘못생각했던걸 잘못생각한걸 잘못생각했음
저렇게 풀수 있음. 갭 매꿔옴
Annihilator는 PID라는걸 이용해서 f가 g를 나눠야하는데 deg 5에서는 나눌 수 없다는걸 납득할만한 계산으로 4차항 3차항 상수항 정리함
계산 있는게 불만이지만 deg 15 구해놓고 irreducible이다에 비하면 양반이고 갈루아보다는 덜 예쁘고 덜 일반적이지만 덜 어려움
조금 더 손보면 계산 없이도 모든 pq에 대해 증명이 될거같은데 그 이후는 아직 생각 안함
저렇게 풀수 있음. 갭 매꿔옴
Annihilator는 PID라는걸 이용해서 f가 g를 나눠야하는데 deg 5에서는 나눌 수 없다는걸 납득할만한 계산으로 4차항 3차항 상수항 정리함
계산 있는게 불만이지만 deg 15 구해놓고 irreducible이다에 비하면 양반이고 갈루아보다는 덜 예쁘고 덜 일반적이지만 덜 어려움
조금 더 손보면 계산 없이도 모든 pq에 대해 증명이 될거같은데 그 이후는 아직 생각 안함
솔찌 저거는 갈루아로 풀기엔 좀 에바라 생각함. 난 저 팩트가 당연하게 받아들여지진 않는데 팩트를 받아들이면 증명의 흐름은 파악했음. 일반적인 소수 p,q에 대해 {p^(n/m)*q^(r/s)} 가 Q위에서 일차독립이다 라는 사실만 쓸 수 있다면 일반화하는 거는 간단할 것 같음.
팩트 증명은 원글에 댓글에 있어서 굳이 증명 안함
아핫, 글을 안읽어서,, ㅋ
alpha+beta로 쓴게 있는데 3^(1/3)+5^(1/5)로 바꿔 읽어줘...
호고곡.. 밤에 읽어보겠음
감사감사 ㅎㅎ
x^3 term에서 b가 저런 꼴로 구해지는데, 거기에 (-(125)^(1/5)-3)한 걸 곱한 것도 결국 5^(1/5) 꼴들의 lin combi라 유리수가 아니다 이거임?
ㅇㅇ 정확함
2차항 1차항 봐도 되는데 그나마 계산 적은 방식이 4차 3차 상수라 순서를 저렇게 잡음
흠 그럼 5^(1/5), 5^(2/5), ... 얘네가 lin combi인 것 정도는 그냥 써도 상관없다는 거지? 그리고 세제곱항 계산 맞는 거? 다르게 나오는데, 다시 해보겠음
lin. ind 말하는거? 그정도야 뭐 써도 괜찮지 않겠음. deg(5^(1/5),Q)=5라는거인데 x^5-5가 Q에서 irreducible인거는 mod5로 Eigenstein 한방에 나옴. 4차 3차 계산 다시 해봄. 틀렸을수도 있음
아 lin ind ㅇㅋㅇㅋ
그러네 b가 q + 3p*5^(1/5) + 6*5^(2/5) 나옴
ㅇㅋ 나도 해 봄
a, b가 존재 안한다는거는 그냥 사소한 계산임. 유리수 맞춰야하는 항이 5개나 있는데 변수 두개로 맞출 수 있을리가 없음. 윗줄만 문제없으면 아랫줄은 어떻게든 쉽게 나옴
그렇넹 ㅋㅋ 암튼 다 정리함 ㄳㄳ
다른 풀이 떠올랐다. Claim2. f=(x-3^(1/3))^5-5 is irreducible over Q(5^(1/5)). (Proof) If f is reducible, then f is divisible by a deg 1 polynomial or deg 2 polynomial. The former is impossible: The only real
roof a cannot belong to Q(3^(1/3)). The latter is also impossible: deg 2 polynomial is factorized by (x-p-3^(1/3))(x-q-3^(1/3)), where p, q are conjugates of 5^(1/5) over Q. 이후는 간단한 계산으로 모순.
(첫댓글 over Q(3^(1/3))으로 수정). 모순 보이는 방법은 무식하게 p, q = 5^(1/5)*w^k, w: primitive 5-th root unity하면 나옴. 나머지는 처음 방식처럼 min poly의 deg가 5 초과니까 15밖에 안된다고 바로 나옴. 계산이 적음