[일반] 이거 제발 풀어줘ㅜㅜ 학부과정으로 안되나

[익명(223.38)]

(a+b)^p=a^p+b^p(mod p^2)를 만족하는 정수 a,b²

- dc official App

[너혹시수학과(afwtrq01)]

그냥 이항 정리 쓰면 안되나

[너혹시수학과(afwtrq01)]

a 또는 b가 p의 배수이거나, a^{-1} + b^{-1} = 0 즉 a = -b mod p여야 할 거 같음

[익명(223.38)]

그런것 같은데 증명을 못하겠다 ㅜ - dc App

[너혹시수학과(afwtrq01)]

좌변을 전개해보면 mod p^2으로 남는게 a^p + b^p + pab(a^{p-2}+b^{p-2})가 되는 걸 보면 될 거 같음

[익명(223.38)]

??? - dc App

[너혹시수학과(afwtrq01)]

아 p^2으로 잘 안묶일 수 있네 좀 생각해봐야겟다

[너혹시수학과(afwtrq01)]

아니네 ㅈㅅ ㅎㅎ!;;

[쿠베라(61.4)]

아니 a=-b면 자명히 되자나 홀수인 소수에 대해. 게다가 그건 모드p^k 임의의 양의 정수 k 다됨,,

[익명(223.38)]

해를 전부 구하는거임 - dc App

[쿠베라(61.4)]

아핫 ㅠ 개어렵네그럼

[너혹시수학과(afwtrq01)]

도움이 될진 모르겠는데 일반적으로 a+b=0 mod p가 항상 모든 해를 만들어 주는 건 아닌 거 같음... a = 1, b = 3, p = 13이 예시

[익명(223.38)]

169로 안나눠지는데? - dc App

[너혹시수학과(afwtrq01)]

wolfram 몇 번 돌려보니까 5 이상의 소수 p에 대해서는 (a+b)^p - a^p - b^p = pab(a+b)(a^2+ab+b^2)P(a, b)로 정리되는 것 같은데 P에 대해서는 일반적으로 할 수 있는 말이 있을지 잘 모르겠다

[너혹시수학과(afwtrq01)]

4^13 - 1^13 - 3^13이 169로 나눠 떨어지지 않음??

[익명(223.38)]

아하 ㄱㅅㄱㅅ - dc App

[너혹시수학과(afwtrq01)]

저 식에서 a^2+ab+b^2라는 인수가 나온다는거는 a에 primitive third root of unity 넣구 b에 1넣으면 식 값이 항상 0이라는 걸로 보일 수 있을 거 같음. 위의 예시도 a^2+ab+b^2 = 0 mod p가 되는 걸로 만든거야

[너혹시수학과(afwtrq01)]

a^2+ab^b^2의 해가 존재하는지는 -3이 quadratic residue인지로 결정나니깐 어느 정도 잘 알 수 있을 듯 싶은데, P가 과연 nontrivial한 해를 줄 수 있을지 모르겠고 어떻게 다뤄야 할지도 모르겠음...

[익명(223.38)]

쩐다... - dc App

[듀에르(211.246)]

일반성을 잃지 않고 a + b < p 라고 하자. (a + b )^ p = a^p + b^p = a+b (mod p) mod p는 사실 mod p^2 세계의 원소에 mod p를 취한 것과 같음. 그러면 mod p의 원소 k로부터 mod p^2의 원소를 복원가능. k + pm mod p^2. 결국 p[ab^(p-1)+ ba^(p-1)]= 0 만 보면 됨.

[듀에르(211.246)]

즉 ab^(p-1) + ba^(p-1) = a + b = 0 mod p 일 때만 성립함.

[듀에르(211.246)]

물론 원소 1은 모든 residue 세계에 있어서 위의 규칙으로 안걸러짐. 하지만 예외인 a=1 또는 b= 1인 경우는 더 쉬워지며. 해가 되는 걸 찾을 수 있는데 해가 안되는걸 생각하는 건 변태들이나 하는거임.

[익명(223.38)]

a랑 b가 p와 서로소이면 a^(p-1)=b^(p-1)=1아님? - dc App