일단 이건 과제는 아님.
(1)만 풀면 그거 이용해서 (2)는 바로 풀 수 있을거같은데....
내가 해본 접근법 : f가 c에서 연속이므로 lim x->c f(x)=f(c)라는 성질을 이용,
만약 f(c)=/=0이라고 가정하면
분할 Pn={x1, x2, ..., xn}에 대해 임의의 분할 I_k=[x_(k-1), x_k]에서 lim x_k->c f(x_k)g(x_k)*(x_k - (x_(k-1))이 0보다 크거나 0보다 작다.
이때 a=x_k-1, b=x_k라고 하면 가정에 모순이다.
따라서 f(c)=0이다.
이런식으로 풀어도 됨?
아이디어는 맞지만 그렇게 작성하면 그을수 있다. a,b는 니가 정하는 수가 아니라 고정된 거임.
그엑...
c를 포함하는 구간 [u,v]에서 f가 연속이라 했을 때...?
f(c)가 양수인걸로 가정하면 엡델로 f(x)가 양수인 구간을 잡을수 있음
스톤 바이어슈트라스 이용하는 해석개론에 있던 문제가 생각나네
근데 2는 1 안써도 가정에 의해 a부터 b까지 연속함수 f^2 적분한게 0이니까 바로 f = 0 나오지 않나
헐 그러네
1도.. g만 잘 잡으면 되겠네 귀류법 쓰면 (c-d,c+d)에서 f(x)가 양수가 되도록 d를 잡을 수 있고 g를 a부터 c-d까진 0, c-d부터 c+d까진 양수, 다시 남은 구간은 0 이렇게 정의하면 가정에 모순.
2도 1 이용해서 증명은 가능하겠네 f가 [a,b]에서 연속이면 임의의 c([a,b]의 원소)에 대해 x=c에서 연속이고 그래서 1에 의해 f =0
해석개론엔 g가 모든 연속함수가 아니라 x^n으로 나와있었고 (1) 없이 바로 (2)만 있었음. 꽤 인상깊은 문제로 남아있다