[일반] 선택공리 빡친다

[익명(39.7)]

f:X->Y가 전사함수이다
임의의 ycY에 대하여 집합 Ay={xcX|y=f(x)}은 공집합이 아니다
임의의 ycY에 대하여 g(y)cAy가 존재한다

이게 올바른 논증이 아님?
...왜?

[더블초코냥(180.67)]

임의의 yㅌY에 대하여 x ㅌ A_y가 존재한다까지는 선택공리가 안 필요한데, x를 g(y)로 바꾸는 게 선택공리임.

[더블초코냥(180.67)]

이 새로운 함수 g의 존재가 증명이 안 됨 ...

[익명(39.7)]

x가 유일하다는 보장이 없어서 그니까 한 개씩 골라내는 방법이 없어서 g(y)같은 표현은 쓸 수 없다는 건가?

[더블초코냥(180.67)]

ㅇㅇ 그것도 있는데 {A_y | y ㅌ Y}가 무한집합일 수도 있어서

[익명(39.7)]

그것도 있는데가 아니라 그게 유한집합이면 선택공리가 필요없지

[더블초코냥(180.67)]

forall x, exists! y, phi(x, y)이면 새로운 함수기호 f를 도입하고 공리로 forall x, phi(x, f(x))를 추가할 수 있는데?

[더블초코냥(180.67)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Extension_by_definitions
이 상황도 아니고, A_y가 무한히 많을 수도 있고, ZF만으로 무엇보다도 집합 g의 존재를 증명할 수 없기 때문에 선택공리가 필요함.

[더블초코냥(180.67)]

"ZF만으로 무엇보다도"를 "무엇보다도 ZF만으로"로 정정함.

[익명(39.7)]

아니 내말은 {A_y | y ㅌ Y}가 유한 즉 Y가 유한이면 선택공리 당연히 필요 없다고

[더블초코냥(180.67)]

그니까 무한일 수도 있으니까 선택공리가 필요하다고;;

[익명(39.7)]

"그것도 있는데 {A_y | y ㅌ Y}가 무한집합일 수도 있어서"란 문장이 어색하다고 한거야 그냥 ㅋㅋㅋ 왜냐면 39.7이 말한 골라내는 방법이 없다는게 Y가 무한집합이라는게 전제니까

[익명(39.7)]

아 잠깐 지금 보니까 나도 39.7이네

[익명(39.7)]

유한이면 정렬 가능해서 필요 없는건가요? 번호 제일 작은 거로 골라낼 수 있어서?

[더블초코냥(180.67)]

x_1 ㅌ A_y_1 잡고, x_2 ㅌ A_y_2 잡고, g := {(x_1, y_1),(x_2,y_2)}로 두면 됨.

[더블초코냥(180.67)]

n = 2일 때 예시임

[익명(39.7)]

그거랑은 상관없고 공집합 아닌 집합들의 유한개 product가 공집합 아닌건 ZF 공리만으로 유도돼서 그럼

[익명(39.7)]

ㅇㅇ 예를들면 n=2일때 저런식으로

[더블초코냥(180.67)]

근데 글쓴이가 "유한이면 정렬 가능해서 필요 없는건가요?" 이렇게 묻는 거 보니까 골라내는 방법이 없다는 걸 잘 이해하지 못한 것 같은데, 그렇지 않음? 나도 옛날에 글쓴이처럼 생각했어서 "{A_y | y ㅌ Y}가 무한집합일 수도 있어서"라는 말을 붙인 거임 ㅇㅇ

[더블초코냥(180.67)]

글쓴이에게: {A_y | y ㅌ Y}가 무한집합일 때 골라낼 방법이 없다는 건, 증명이 유한해야 해서 그래요. 각 y에 대하여 x_y ㅌ A_y를 잡아야 되는데 그걸 증명에 쓰면 무한히 길어져서 안 돼요.

[익명(39.7)]

유한할 때는 유한한 증명으로 골라낼 수 있나요?

[익명(39.7)]

아아 ㅇㅋㅇㅋ

[더블초코냥(180.67)]

네 그렇습니다. n = 2일 때 예시를 참고하세요.

[익명(39.7)]

두번째줄에서 세번째줄로 못 넘어감 ㅇㅇ