[일반] 카르탕 스터럭쳐 이퀘이션이 의미하는게 뭔가요?

[익명(210.105)]

약간 3차원 유클리드 공간에 임베딩된 1, 2차원 도형들을 다루는 고전미기에서

곡선의 경우 모든 점에서 프레네 세레 직교계를 잡을 수 있었고

그걸 가지고 곡선의 곡률 토션 같은걸 계산할 수 있었는데

곡면 위에서도 좌표계를 통해서 좌표변수에 대한 미분으로 정의되는 기저벡터나 그들의 (정규직교하진 않는)계가 아닌

모든 점에서 정규직교하는 계를 만들어서(이걸 국산 학부 미기 책에선 "표구장"이라고 부르더군요)

곡면의 기하학적인 양들을 측정하겠다는 것 같은데

처음에 만들어진 모티베이션이나 목적하는바가 결국 2차원 도형에 대해서도 프레네 세레 방정식 같은걸 만들어보자는건가요?

그리고 이 표구장이라는 개념이 필바인하고는 어떻게 다른가요

상대론 수업에서 대충 듣기로는 필바인도 매니폴드 위의 모든 점에서 정규직교하도록 인위적인 베이시스를 잡아준 것 같은데

그래서 코디네이트 베이시스를 쓰냐 필바인 포말리즘을 쓰냐 뭐 이런 얘기를 하시던데

이 개념의 원천이 표구장이랑 스트럭쳐 이퀘이션 같은걸로 거슬러올라가지는 것 같은데 맞는건가요?

[익명(61.78)]

중간까지는 알겠는데 뒷부분 모르겠음. 중간까지는 학부 미분기하학개론의 내용이고, 3차원 공간상의 두 곡선, 두 곡면이 같은가?다른가?에 대한 하나의 기준이라고 알고있음. 공간상에 거리동형 함수인 평행이동, 회전에 대한 차이, 대칭이동에 의한 차이 나아가 거리동형에서 위상동형쪽으로...

[익명(61.78)]

질문 내용이 물리학에서 하는 거랑 수학에서 하는 거랑 같은지? 그 개념을 도입하게된 배경이 뭔지 궁금해하는 것 같은데 혹시 여기서 답변을 못 받으면 통계물리학 마이너갤러리에 질문해보시길...

[익명(125.177)]

토션,곡률은 곡선, 곡면만이 아니라 커넥션이 있는 모든 매니폴드에서 국소적 정의가능한건데 곡선에서 곡면으로 확장이 동기?그런얘기는필요없는듯. 카르탕 1,2이퀘이젼은 각각 토션과 곡률의 정의를 frame에 대해서 계산하기쉽도록 form형태로 (복잡하게)서술한거에 지나지 않는걸걸. =의미가 따로 특별히 있는게 아님.

[익명(116.33)]

Cartan structure eq.는 그냥 torsion tensor, curvature tensor를 정의하는 식이라고 이해해도 되고, 정의를 다른 방식으로 배웠다면 이렇게 이해하셈. 현재 우리가 얘기하는 미분기하란 커넥션이 주어진 다양체를 공부하는 과목인데, 이 다양체의 국소적인 '모양'은 local frame과 connection form을 주면 결정됨. 따라서 torsion이든 curvature이든 전부 local frame+connection form을 조합해서 나타낼 수 있어야 하는데 카르탕 eq가 바로 그 방법을 가르쳐주는거

[익명(116.33)]

그리고 추측컨대 물리학에서 테트라드나 필바인이리고 부르는건 그냥 coordinate basis일 필요 없는 일반적인 frame을 잡는거랑 같은말인듯

[글쓴이(118.235)]

이제 들어와봤습니다 다들 감사합니다