f가 x=g(a)에서 미분가능,g가 x=a에서 미분가능
=> f(g(x))는 x=a에서미분가능,그 도함수값은 f'(g(a))*g'(a)

이거 증명인데 case를 이렇게나눠서하면 어떰?

1. 임의의 양수 epsilon에 대하여
열린 구간 (a-epsilon,a+epsilon) 에서 g(x)-g(a)=0인
실수 x가 항상 존재하는 경우

2. 어떤 양수 delta에 대하여
열린구간 (a-delta,a+delta) 에서 g(x)-g(a)=0인
실수x가 존재하지않는경우

2의 경우에는 고교 교과서내 증명이랑 똑같으니 생략하고,
1의 경우에 증명되면 모든 케이스에서증명이끝난거라볼수있지??

1에서 경우를 또 나누는 거지..

g(x)-g(a)=0이 되는 실수 x들의 집합을 A라고 하자.

1-1.
A에 속하는 원소들만을 골라서 x를 a에 가까이 가게하는 경우

이 경우는 f(g(x))-f(g(a)) / (x-a) = 0 일거니 가까이가도 0

1-2.
A에 속하지 않는 원소들만을 골라서 x를 a에 가까이 가게하는 경우

f(g(x))-f(g(a))/(g(x))-g(a)) * (g(x)-g(a))/(x-a) 니

f'(g(a))*g'(a)=0이면 미분가능.

근데 g(x)가 x=a에서 미분가능하고 g(x)=g(a)인 실근이 a근방에 무수히많으면 항상 g'(a)=0이니깐 (위의 논리와 동일논리므로 생략.)

모든경우에대해증명끝

이렇게 증명하는거는 안됨?


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