[일반] 나도 아랫글이랑 비슷한 의문 있는데

[익명(221.160)]

homotopically equivalent한 공간이라던지 

equivalent한 category라던지 

fg~1, gf~1일때 왜 특정한 성질이 보존되는지 자명하게 와닿지가 않음 

증명을 써보면 뭔가 공통적인 essence가 있는건 알겠는데 뭐라고 해야될지 모르겠음 

[익명(147.46)]

homotopy equivalence는 homotopy category에서의 isomorphism이기 때문에 결국 isomorphism을 이해하면 됨

[익명(221.160)]

일반적인 category의 equivalence에서 categorical한 성질들이 보존되는걸로 설명할 수 없는 것도 있지 않아? 예를 들어서 homotopy group이 같은건 category의 equivalence의 관점에서 어떻게 봐야함?

[익명(39.7)]

그건 homotopy group과 induced homomorphism이 functor를 이루기때문에 homotopy category에서의 isomorphism이 group category의 isomorphism으로 옮겨지는거

[익명(39.7)]

물론 두 카테고리가 equivalent한것은 아니고 homotopy group이 그러한 functor가 된다는것도 별개의 증명이 필요하지

[익명(221.160)]

그것보다 homotopy category에서 group category로 가는게 well defined라는걸 보일때 homotopy equivalence의 조건을 이용하잖아 근데 첫댓쓴이가 category의 equivalence만 이해하면 된다길래 category의 equivalence가 categorical property (universal object라든가, abelian인 경우에는 exact를 보존한다든지)를 보존하는 것과 같은 논리로 homotopy equivalence가 homotopy group을 보존한다고 생각할 수 있냐는 말이었음

[익명(221.160)]

애초에 내가 글에서 질문한게 fg~1, gf~1인 상황에서 특정 성질이 보존되는걸 어떻게 직관적으로 받아들여야 하냐였지 homotopy category를 이해 못해서 질문한게 아냐

[익명(116.33)]

전부다 내가 쓴 댓글인데 homotopy equiv한 공간이 Homotopy group을 공유하는 이유는 [homotopy equivalence=homotopy category 내부의 isomorphism]이고 공간에 homotopy group을 대응시키는 과정이 functor이기 때문이라고 답했잖아?

[익명(116.33)]

fg~1, gf~1 맵이 있는 두 공간이 왜 homotopy grp이 같은지 콤팩트하게 설명하는 방법이 (내 답변의 레벨에서는) isomorphism과 functor라는거야. 만약 너가 이걸 모른다면 fg~1같은 조건이 왜 자연스러운지 의문스러울것 같아서 적어본거고. 난 두 카테고리의 equivalence에 대해서는 아직 언급하지 않았음

[익명(116.33)]

근데 homotopy category의 isomorphism이 뭔지 이미 아는데 호모토피그룹 펑터가 왜 호모토피 equiv를 respect하냐고 묻는다면 그건 category theory로부터 자명하게 얻을 수 있는 게 아니고 비자명한 정리라고 답해야겠지?

[익명(221.160)]

아 내가 잘못 알아들었었네 ㅇㅇ 그러면 결국 증명의 essence가 그게 functor라는걸 보이는걸로 옮겨갈거같은데 일반적인 category에서도 똑같은걸 했을때 자명한 결과가 나오지 않는것처럼

[익명(221.160)]

내가 뭘 헷갈렸는지 알겠다 답변 고마워 ㅋㅋ

[익명(116.33)]

맞아 essence는 functoriality에 있다는게 요지였고 제대로 다시 언급하려했는데 내 마음을 읽었네. fg~1, gf~1가 있는 두 공간의 homotopy group이 같다는걸 바로 보이는것보다 homotopic한 두 맵이 같은 group homomorphism을 induce한다는것(functoriality)를 먼저 보이는게 훨씬 쉽지. 그나마도 (co)homology에서는 chain homotopy 개념이 필요하지만 homotopy group에 관해서는 간단하고

[익명(116.33)]

equivalent category는 왜 같은 성질을 공유하느냐, 이걸 똑같은 논리로 설명하려면 category들의 category 안에서 isomorphism이 곧 category equivalence라는걸 생각하면 되지않을까?