X는 measurable space이고

orthogonal system {g_n} n=1,2,3, ...이 주어졌다고 합시다.

integral (X) fg_n = 0 for all n을 만족하는 continuous function이 zero function으로 유일하다고 할때

L2 space의 함수 f가 모든 n에 대해 integral (X) fg_n=0이면 f=0 a.e.임을 어케 증명할수 있을까요.





일단 제가 시도한 접근은 이렇습니다.

|| ||을 2norm으로 표기할게요. (||f||=sqrt(integral(X) f^2))

f의 푸리에 급수의 N항까지의 부분합을 S_N(f)로 표기할게요.

f가 위 조건, integral (X) fg_n = 0 for all n을 만족한다고 합시다.

그러면 fourier coefficient들이 모두 zero니깐 S_N(f)=0입니다.

또 임의의 양수 e>0에 대해 ||f - h|| < e를 만족하는 continuous function h가 존재하므로 다음이 성립합니다.

||f|| = ||f - S_N(f)|| <= ||f - S_N(h)|| <= ||f - h|| + ||h - S_N(h)||

||h - S_N(h)||가 N이 무한대로 갈때 0으로 수렴하는걸 보이면 ||f||가 임의의 양수보다 작아져 0이되어 증명을 끝낼수 있을거 같거든요?

L2가 complete 하니깐 S_N(h)은 일단 수렴하거든요. 근데 이게 연속함수로 수렴하는걸 보이면 integral (X) fg_n = 0 for all n을 만족하는 continuous function이 zero function으로 유일하다는 조건를 써서 증명이 되는데 이게 어렵네요.

orthogonal system의 g_n들이 모두 continuous할때는 S_N(h)가 uniform convergence니깐 S_N(h)도 continuous하게 되는건 알겠는데 일반적인 경우, 즉 g_n들이 단순히 Lebesgue integrable한 경우에 대해선 증명을 못하겠습니다.

제 접근이 잘못됐을려나요.


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