[일반] N차 방정식에서 가해군과 가해성 질문

[고철수집전문(scrapscrap)]

 N차 방정식은 기저체랑 확대체로 갈루아 군(N차 대칭군과 동형인)을 가지고 그 갈루아군이 가해군의 정의를 만족하면 N차 방정식을 일반해로 풀 수 있다는건데 왜 가해군이면 N차 방정식을 거듭제곱근으로 풀 수 있음? 저게 증명이라는데 뭔 소리인지 전혀 모르겠음... 갈루아군은 사상들의 집합인데 왜 정규부분군에 해가 포함됨?

[ns(qwer2357)]

예를들어 복이차식 x^4 + 2x^2 - 1을 생각하면, 얘는 x^2 = -1 +- sqrt3이고 따라서 x= +-sqrt(-1+-sqrt3) 이 해가 됨. 이걸 Q에서 원소 3을 선택하고 sqrt3을 추가한 Q(sqrt3)을 만들고, 거기다가 -1+-sqrt3을 선택하고 그 각각에 류트 씌운 sqrt(-1+-sqrt(3)) 을 추가하면

[ns(qwer2357)]

저 Q(sqrt3, sqrt(-1+sqrt 3), sqrt(-1-sqrt 3)) 에서 앞서의 방정식이 풀림(1차식으로 분해됨) 이런식의 확장을 solvable by radicals extension으로 부르는데, 물음표 친곳만 잡아주면, 잉여군의 위수가 소수이다 -> cyclic extension -> char 0이면 x^p -a 의

[ns(qwer2357)]

splitting field for some a의 형태를 띈다는게 알려져있음. 좋은 reference를 못찾아서 그냥 인터넷서 책 파일 보냄
https://www.google.com/url?q=http://www.math.ucsd.edu/~jmckerna/Teaching/16-17/Winter/200B/l_13.pdf&sa=U&ved=2ahUKEwiAybi

[ns(qwer2357)]

그래서 저거랑, 그 galois theorems 세개중에 factor group과 관련된거 합치면 완성이 되는데.. 한학기 과정이라 뭘 어떻게 지름길을 알려주기가 뭣하네. 아 그리고 당연히 원소는 군에 포함안되고, N_k-1 에 대응하는 체에 포함된다는 얘기를 잘못적은거.

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ㄳㄳ 천천히 보고 공부해볼게요