[일반] one point compatification 질문..

[익명(124.5)]

X, Y의 one point compactification 한걸 X* Y*라 했을때 X* Y*가 위상동형인데 X Y 가 위상동형 아닐 수 있음?

f:X->Y 인 homeomorphism 이면 f*:X\{x}->Y\{f(x)}도 homeomorphism 아니었나?

- dc official App

[AKIRAx(chrislee93)]

X*에서 Y*로 가는 동형사상이 무한대를 무한대로 보낸다는 법이 없긴 하네... 반례가 있던가?

[익명(124.5)]

반례가 전혀생각안나네 씹 ㅋㅋㅋ 과제미뤘다 좆됐네

[ns(qwer2357)]

위에는 universal property에 의해 성립하고 아래는 성립안함..그냥 X=(0,1], Y=S1으로 쉽게 반례

[익명(124.5)]

(0,1] 하고 S1이 homeomorphic인가?

[익명(175.223)]

이해안가는데 자세히 설명좀

[ns(qwer2357)]

아 미안. 잘못봤음. f: X->Y가 homeo면 X에다가 한점 추가한거랑 Y에 한점 추가한게 homeo라는줄.. 뺀거면 맞음 ㅇㅇ

[익명(124.5)]

굿 그러면 위에꺼랑 아래꺼랑 같은거아니야? 학부생이라 범주론은 잘 몰라서..

[ns(qwer2357)]

그럼 정의대로, f: X -> Y가 동형사상이고 각각 X* Y*의 one point compactification을 가진다고 할때 f를 f(X의 무한대) = Y의 무한대 로 정의를 확장한 f가 동형사상임을 보이면 돼

[ns(qwer2357)]

bijective인건 분명하기때문에 사실 진짜 질문은 저게 bicontinuous인가가 문제인데, 대칭성에 의해 어느 한쪽만 증명하면 돼. 그래서 f가 open map(open을 open으로 보낸다) 만 보일거야.

[ns(qwer2357)]

X*의 open set들은, compact set의 complement union 무한대 꼴이거나 X의 open set 꼴이거나 둘중 하난데, f가 X상에서 open set을 open으로, compact를 compact로, Y로 1-1 조건이 있기때문에, X*의 open set의 이미지는

[ns(qwer2357)]

Y의 open set이거나, Y의 어떤 compact set의 complement union Y의 무한대. 꼴인데 이건 정의에 의해 Y* 의 open set이 돼서 이 f의 확장은 open map임.. inverse에 대해서 다시 따져주면 inverse도 open이니 homeo가 돼

[익명(124.5)]

정말감사합니다 선생님 +

[익명(175.223)]

아래는 당연히 됨

[익명(124.5)]

원래 문제는 X Y가 homeomorphic 이면 X* Y* 도 homeomorphic임을 증명인데 이거는 어케해야될지 감도안잡힘 ;;

[익명(117.111)]

이런거 찾음? X = [0,1), Y = [0,1) cup (1,2]

[익명(117.111)]

X* = [0,1], Y* = [0,2]이고 둘이 당연히 homeomorphic

[익명(124.5)]

오?

[ns(qwer2357)]

어 음 그렇네. X Y의 homeo를 확장한 경우가 아니라 그냥 조건없이 one point compactification끼리 서로 동형인 경우면 이게 맞음.

[익명(220.121)]

위에건 X,Y에 T2 있어야 참이었던거 같은데

[익명(124.5)]

가정에서 이미 한점옹골화 한게 있어서 X Y 는 국지컴팩트이고 T2공간

[익명(220.121)]

X,Y에 T2없으면 compactification도 T2 아님 둘이 필충임

[익명(124.5)]

X의 한점올골화공간 Y존재 iff X T2 and locally compact아닌가요?

[익명(220.121)]

ㄴㄴ 내기억이 잘못된걸수도 잇는데 내 기억엔 one cpt는 T2가 필요없음 유일성때문에 많은 사람들이 T2를 넣는거임

[ns(qwer2357)]

뭐 보통은 one-point compactification 얘기할땐 loc cpt Hausdorff가정 깔지 않나 싶은데.. 근데 그렇다 치더라도 뭐 Hausdorff가 깨져도 homeo가 잘 안되진 않을거 같은데..

[익명(220.121)]

니가 윗댓에 쓴건 본문 첫번째 명제랑 역관계 아니냐

[ns(qwer2357)]

ㅇㅇ 질문을 잘못 이해함 너말이 맞음

[익명(124.5)]

근디 내가 필요한증명은 ns가 적어준게맞음 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이게 개떡같이말해도 찰떡같이알아듣는다는건가