두 양의 실수 p,q에 대해 수열 a_n이 다음과 같다.
( [x]는 내림함수이다)
a_(3n-2)=2020n
a_(3n-1)=[np]
a_(3n)=[nq]
즉,수열을 나열해보면 다음과같다.
2020,[p],[q],4040,[2p],[2q],6060,[3p],[3q],8080, ....
임의의 두 자연수 m,n에 대해
a_m=a_n이면 m=n을 만족시키고,
수열 a_n의 치역이 자연수 전체의 집합과 같게 되는
두 양의 실수 (p,q) 순서쌍이 존재하면 가능한 모든 순서쌍을
보이고, 아니면 반증하라.
어떻게접근하는게좋을까요
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펜이 없어서 떠오르는 아이디어만 얘기하면.. 우선 P=[p], Q=[q]라고 두면 둘중 하나는 1이고 나머지 하난 2이상임. 그래서 편의상 P=1로 하자. X=2020pq를 생각하고 X보다 작은 정수의 개수를 세봐. 그럼 [nq]
꼴의 숫자들의 개수는 대충 X/q개 정도 (정확힌 부등식으로..) 나오도 비슷하게 [np]꼴은 X/p개정도.. 뭐 그렇게 나오는데 저 숫자들이 가정에 의해 서로 안겹치기 때문에 X가 대충 X(1/p + 1/q + 1/2020)랑 비슷해짐. 비슷하게 kX도 kX(...) 와 비슷해지는데 k를 무한대로 보내면 아마 저 계수가 1이 아니면 모순이 나올거..
그래서 괄호안=1 은 얻어놓고 일단 p q가 유리수는 될수 없으니.. 적당히 범위 봐서 해보면 되지 않을까? 하고 예상만 해보네
그렇군요. 이문제다음 발전문제는, a_n의 치역이 자연수집합과 일치할필요는 없고,저 수열에 모든 "양의정수가 한번씩만" 등장하면 되는건데,이경우는 어떻게될까요? - dc App