3번임.
baby rudin에서도 끝자락에 다루는 건데 비슷한 조건을 보임.
for all n, integral (a,b) f pi_n = 0 인 f는 ||f|| = 0을 만족할 때, 즉, f = 0 a.e.일때, 해당 orthogonal system이 complete하다
라는 내용임. pma 331p 11.44 Theorem의 내용.
근데 이 교재는 좀더 강한? 조건임.
for all n, integral (a,b) f pi_n = 0 인 continuous function f는 zero function 뿐일때, orthogonal system이 complete하다
해당 교재(manfred stoll)에선 그래서 for all n, integral (a,b) f pi_n = 0 인 continuous function f는 zero function 뿐일때 for all n, integral (a,b) f pi_n = 0이면 f = 0 a.e.라는걸 보이라는거임.
||f|| = 0이고 continuous 하면 f 는 zero function이긴 한데...시발 멀까?
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이것만 풀면 책에있는 연습문제 다푸는건데 이것땜에 4일을 고민하네 쉬벌 - dc App
전에댓글싼대로 푸리에급수써서 임의의 L2함수 f에대해서 저거 성립하는거알수있고 그럼끝이잖아
orthogonal system이 complete함을 보이는건데 fourier series를 어케씀? - dc App
f가 L2함수면 f의 푸리에급수 부분합이 연속함수고 f로 L2수렴하잖아
그게 orthogonal system이 연속함수일때 푸리에 부분합이 연속인거고 푸리에 급수가 l2 수렴하더라도 orthogonal system이 complete 해야 f로 수렴하는거잖아. 지금 증명하고자 하는게 orthogonal system이 complete함을 보이는건데? - dc App
orthogonal system연속성은 필요없는데
orthogonal 함수들이 불연속인경우 어케 푸리에 부분합이 연속임을 보장할수가 있음? - dc App
푸리에 부분합 쓰라는 말은 문제에서 주어진거 쓰라는게 아니고 그냥 exp(inx)꼴 기저 쓰라는말임
아아 그말이였누 - dc App
근데 내가 개빡통이라 그런데 exp(inx) 기저로 어케 보이는지 좀 간단하게라도 설명해줄수 있냐 - dc App
그냥 (a,b)=(0,2pi)라 놓거나 평행이동하고 scaling하던가 해서 연속함수로 된 기저 찾으면됨
그게 아닌거 같은데 내가 이해를 못하는건가 - dc App
그러니까 Rudin 얘기는 나도 ㅇㅋ인데, 저 Stoll얘기는 여전히 좀 미심쩍달까.. 저게 일반적으로 되는 얘기는 분명히 아니거든? 예를들어 l^2에서 표준기저 ei를 잡고 k ek - e1과 모두 수직인 벡터가 0밖에 없다고 말하기 위해서 그 안에있는 dense subset of finite sequences에 대해서만 따져줘도 괜찮다 그런식의 말로
루딘 내용은 쉽게 증명이 되는데 stoll내용은 도저히 안되더라구요. - dc App
들린단말이지.. 보통의 증명을 한다면 h = sum an phi_n, an=(f, phi_n) 을 상정하고, f-h가 모든 phi_n 에 수직이니까 f-h=0 뭐 그런식으로 가야할텐데
애초에 sum an phi_n이 설사 phi_n이 연속함수라도 저 합이 균등수렴하는건 Fourier 급수에서도 안되던건데... 해서 보면 저 함수가 역시 L2로 정해져야할거 같고 그럼 저 레시피가 안먹힐텐데..
네 맞아요. 방금 댓글 달았다가 취소한 이유가 연속이더라도 uniform converge임을 보일수가 없어서 증명 못하겠더라구요. 그리고 애초에 기저가 연속함수들이고 푸리에 급수에 적용되는 함수가 연속이더라도 uniform convege하지 않는 경우가 있어서 그런 접근은 아닌거 같더라구요. - dc App
ㅇㅇ 그래서 뭔가 굉장히 특수한 논법을 써야하거나 (일반적인 메져공간에선 불가능한) 아니면 잘못 문제를 냈다는 생각이 드네
pma, rca, stein1권 3권 뒤집어보고 + 구글링을 4일간 해봐도 위에 루딘 내용만 쏟아지고 stoll 내용은 못찾았는데... 그냥 레드썬하고 끝낼렵니다. 답변감사합니다. - dc App
저기서 필요한건 uniform convergence가 아니고 L2 convergence인데
생각해보니까 반례있네 phi n들이 연속이란조건 빼먹었나보네
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ