[일반] 다항식 갈루아군에서 유리수체 사이의 치환

[고철수집전문(scrapscrap)]

역사적으로 갈루아군의 아이디어는 방정식에서 근들을 치환해도 근과 계수의 관계가 성립해서 그 치환들을 모아 군을 만든건데 왜 유리수 근끼리의 치환은 불가능하고 전부 항등사상임? 유리수끼리 치환해도 x^2-1=0같은 식에서 1과 -1의 위치를 바꿔도 모든 근과 계수의 관계는 전부 만족하는걸로 보이는데 저 그림에서 붉은색 사상은 왜 안되는지가 궁금하다

[ns(qwer2357)]

1은 x^2=x를 만족시키는데 -1은 그러지 못함. 사실 그래서 (0이랑 다른) 1이 하나로 정해지고 나면 1을 몇번 더하고 어쩌고 하는것들도 자동으로 고정이라 Field homomorphism은 어쨌든 Q나 Fp 중 하나는 바꾸지 못하는 형태로 들고있어

[고철수집전문(scrapscrap)]

x^2=x는 어떻게 유도되는건가요?

[고철수집전문(scrapscrap)]

[ns(qwer2357)]

아니 저 둘이 막 바꿀수 있는 사상이면 f(xy)=f(x)f(y), f(x+y)=f(x)+f(y)가 되야하잖아. 그럼 만약 1이랑 -1을 공평하게 바꿀수 있어서 f(1)=-1이 되는 동형사상이 있다면

[ns(qwer2357)]

1=1*1에다 동형사상을 걸어서 f(1)f(1)=f(1)도 성립해야하는데 -1은 (유리수에서) 저걸 만족시키지 않잖아.

[ns(qwer2357)]

그말은 Q에서는 1과 -1이 구분이 된다는 얘기. 반면에 Q root 2에서 root2랑 -root2같은건 서로 대수적으로는 구분이 안되고..

[돌아온 느낌수학(223.62)]

방정식의 계수마저 건드리고 싶은건 아니니까

[익명(223.38)]

애초에 체의 동형사상은 1을 1로 보내기 때문에 유리수에 대해서는 항등사상임

[고철수집전문(scrapscrap)]

아 진짜 직접 풀어보니까 연산 보존하려면 f(1)=1이고 다른 유리수체 원소들도 연쇄적으로 자기자신으로 대응되는데 무리수의 루트2나 -루트2는 그런거랑 관계가 아예 없고 적절하게 대응만 되면 자기동형사상이 되네요... 연산을 보존하려면 반드시 이렇게 되어야한다는건 알겠는데 그럼 이렇게 보존이 된다는 사실이랑 방정식의 계수랑 어떻게 연관을 지어야 하나요?

[익명(61.78)]

유리수를 계수로 하는 방정식 p(x) = a0 + a1 x +...+an x^n in Q[x]( 계수는 유리수) 이 때 alpha가 p(x)의 근이라 하자. 단 알파는 유리수가 아닌 복소수. 준동형사상 phi : Q[x] -> bar Q , phi( p(x) ) = phi ( p(x) ) = p(알파)

[익명(61.78)]

이 때 유리수체Q 위의 다항식환Q[x] / ( p(x) ) 는 치역과 동형이고 치역은 유리수체와 알파를 포함하는 최소의체 Q(알파)와 동형이잖아. 그럼 마치 phi 함수가 체동형사상 같아진단 말이지. 이 때 유리수 계수는 유리수로 나와. (소체의 원소는 체동형사상을 거치더라도 자신이 나옴. 소체는 유리수, Z_p를 말함)

[익명(61.78)]

barQ = C(복소수)이고 phi ( p(x) ) = phi(a0) + phi(a1)phi(x) +...+phi(a^n)phi(x)^n = a0+a1알파+...+an알파^n =p(알파) Phi 함수는 환준동형사상인건 맞지만, 한 번쯤은 스스로 맞는지 확인해보는 것도 좋고

[고철수집전문(scrapscrap)]

뭔지 알 것 같다 다시 공부해봄 ㄳㄳ