1. Calculus, Apostol
책 이름은 calculus지만, calculus, linear algebra, differential equations, probability를 다 포함하고 있는 책입니다. 따라서 이 책만 본다면 수학을 공부함에 있어서 기초가 다져졌다고 봐야 합니다. 연습문제는 30% 이상 푸는 것을 목표로 합니다. 기간은 1년이 걸립니다.

2. Jech, Set Theory
이 책은 Set Theory에 대해 자세히 서술해 놓았지만, 여기서 필요한 것은 1절에서 5절까지 입니다. 분량은 60페이지 가량입니다. 앞으로 배우게 될 수학에서 Set Theory는 자주 쓰이게 되므로, 한 번 정도 꼭 공부를 하는 것이 좋습니다. 기간은 1개월이 걸립니다.

3. Hungerford, Algebra
대학원 책인데 이 쯤에서 읽는 것이 가능합니다. 왜냐면 책에서 linear algebra와 set theory를 제외한 어떤 지식도 가정하지 않기 때문입니다. 내용도 상당히 세부적이여서 흐름을 잡기가 쉽고, 증명은 극히 간결합니다. 따라서 별로 어렵지 않습니다. 1,2를 끝낸 입장에서 충분히 읽을 만 하다는 거죠. 단 한 가지 문제점은 매우 지루하다는 것인데, 공부에 대한 열정이 있는 이상 이 정도 지루함은 극복하리라 생각합니다. 처음부터 차근차근 빠르지 않게 그리고 완벽하게 읽으면 됩니다. Lang을 보지 않는 이유는 Lang은 1,2번만 읽고 공부하기는 어렵기 때문입니다. 연습문제는 75% 이상 푸는 것을 목표로 합니다. 기간은 1년이 걸립니다.

4. Rudin, Real and Complex Analysis
3번을 끝낸 입장에서 이 책은 그리 어렵지 않습니다. 다른 해석책보다 이 책을 추천하는 이유는 매우 간결하고 빠른 시일내에 많은 양을 습득할 수 있기 때문입니다. 연습문제는 80% 이상 푸는 것을 목표로 합니다. 기간은 4개월이 걸립니다.

5. Armstrong, Basic Topology
대학원 책을 두 개나 끝냈는데 학부 책은 아무것도 아닙니다. 1달정도에 금방 끝냅니다. 연습문제는 100% 푸는 것으로 합니다.

6. Hatcher, Algebraic Topology
별로 좋은 책이 아닙니다. 증명은 매우 부실하고 쓸데없는 예제들이 많습니다. 하지만 필요한 내용들만 담고 있기에 어쩔 수 없이 공부하게 되는 책입니다. appendix의 숫자가 매우 많은데 chapter 2는 appendix를 보고 chapter 3,4는 appendix를 보지 않습니다. 또한 이 책의 장점은 연습문제가 매우 많다는 것인데, 그 것을 다 풀기는 조금 무리입니다. 연습문제는 50% 푸는 것으로 합니다. 기간은 4개월 걸립니다.

위 과정을 모두 거치고 나면, 대충 대학원 1학년 수준의 지식을 얻습니다. 총 기간은 2년 10개월입니다. 3년이 안 되는 정도군요. 고등학교 1학년때 공부를 시작하면 수학과 가기 전에 대학원 2학년 과목을 공부하는 것도 가능합니다. 수학과 오자마자 1번을 공부하면 대학원 가기 전에 대학원 2학년 수준(예를 들면 Hartshorne)을 공부할 수 있습니다.

많은 분들이 위 과정을 따라할 수 있을까 의아하게 생각할 것입니다. 일반적으로는 따라하기 힘들고, 다음과 같은 조건을 만족하면 충분히 가능합니다.

조건) 하루에 5시간 정도 꾸준히 독서.

하루에 5시간 독서하는 것 생각보다 상당히 힘든 일입니다. 어렵다고 하기 보다도 매우 지루하기 때문입니다. 수학에 대해 열정이 있다면 견뎌낼 수 있다 생각합니다. 물론 위 1번~6번은 수업을 통해서 배우는 것이 아니라 독학으로 공부하는 것입니다. 독학으로 공부하면서 연습문제를 많이 풀어야 단단한 지식을 가지게 됩니다. 수업은 1~6번을 제외한 잡다한 과목들 (정수론 등등)에 활용하도록 합니다.


출처: https://mathgirl.tistory.com/166 [mathboy]

이러면 2년 10개월만에 5년차 수학전공생됨?