the real projective plane: P2R=(R^3-{0})/~ where x~kx for any x in R^3-{0} and any k in R-{0}.
Q1.Is P2(R) cpt?
Q2.Is P2(R) homeo to S^2?
~' on S^2를 x~'y iff x=±y로 잡은 후
P2R homeo to S^2/~'임을 보였음
그리고 S^2가 cpt니까, 그리고 p: S^2->S^2/~'이 conti니까(p: the quotient map) S^2/~': cpt.
그래서 Q1은 해결했는데
Q2를 모르겠음.. S^2/~' homeo to S^2를 보여도 되는 건데,
homeo를 잡는데 기존의 p를 사용하지는 않아도 되는 거고..
일단 뭔가 거짓인 것 같긴 한데 전혀 모르겠음 ㅋㅋ
힌트좀..
P2R은 nonorientable이고 S^2는 orientable이라 동형이 아니긴한데
ㅇㅎ 근데 그걸 이용해도 되려나.. 아마 안 되지 싶은디
원래 동형 아니는거 보이는 방법은 invariant 비교밖에 거의 없긴 함.. orientability 쓰면 안 될거 같으면 fundamental group 비교하던가 해야 할 듯
fundamental group말고 일반위상내용만으로 보일수있을려나
S2에서 적도부분 빼면 disconnected인데 RP2에선 p(적도) 빼도 connected라 둘이 동형 아님
이거네
아니 잠깐 이거로 안되는거같아
ㄷㄷ??
한점을 빼면 RP2는 뫼비우스띠가 나오고 S2는 디스크가 나와요
S2에서 한 점 뚫고 구멍 넓혀서 평면상에 찍어 누르면 open disk 된다는 거죠?
위에 뭐 좀더 정확히 말하면 homeo가 적도를 보존한다는 보장이 없으니 simple closed curve로 자를때 S2는 connected component가 반드시 둘이고 RP2는 아닐수도 있다. 이겠지만 전자가 Jordan curve theorem.... 이 fundamental group보다 쉬운게 맞나가 고민이네
jordan curve thm을 몰라서.. RP2에서 한 점 뺀 게 뫼비우스 띠 나오는 것도 모르지만 이게 그나마 제 상황에서 가능한 답변일 듯..?
근데 사실 똑같은 질문이 나옴: 뫼비우스 띠는 왜 open disk와 동형이 아님? 그거 보인다고 뫼비우스 띠는 가운데로 자르면 안끊어지고 open disk는 어떤 폐곡선으로 잘라도 구멍이 뚫린다고 하면 결국 같은 성질을 사용한거...
그걸 피하면서 대수위상과 orientable을 피하는 방법이... 뭐가 있을지 잘 모르겠네..
뫼비우스 얘기 하려면 그냥 기본군이 not iso라고 말하고 끝내야 하지 않을까용.. 그 쪽으론 얕게밖에 몰라서.. orientable은 개념을 알고만 있고, 대수위상은 조금만 배움
쓸수만 있으면 homotopy 잡는게 더 편하긴 함. S2에서 북극(한점) 빼면 남극(한점)으로 retract하고 RP2에서 북극 빼면 circle로 retract되니까.. 그리고 circle은 nulhomotopic 아닌거 알고
근데 분명 quotient map 배우는건 위상 초반일건데 그렇게 보면 대수위상 없이 하라는건 맞는거같고.. 저 문제를 무슨 의도로 냈는진 모르겠네
아 이거 설대 대학원 입시 문제예용. 제 처음 접근은 quotient map이라서 제목이 저런 거.. 기출문제에 대수위상 문제도 있긴 하니까, 대수위상 내용 써도 될 거예요.
아 그럼 뫼비우스띠 해도 되겠네. 증명해야하면 homotopy 잡는게 적기 편할수도 있고. RP2-[0:0:1] 에서 [x:y:tz] 로 homotopy 잡으면 모든 점이 [x:y:0]으로 가니까
댓글에서 homot. 잡는다는 게 t 대입했을 때 식이 [x:y:tz]인 함수를 쓰라는 거죠? 0l->[x:y:0], 1l->[x,y,z]인 함수
ㅇㅇ 적도로 collapse하는 함수
1학기 위상 기말 문제네
참고로 문제에 힌트로 S^2에서 compact set 뺀 거랑 RP^2에서 compact set 뺀 거 비교하라는 식으로 나왔었음. connected ness로 해결하라 했던 것 같음
어떤 cpt를 빼야 함? 위에 나온 적도? PR^2는 애초에 set들의 set이라 어케 다뤄야할 지도 감이 안 오네..