이게 질문인데 내 접근은 f_k(z)=sum(n=1 to k)n^(-z), f(z)=sum(n=1 to inf)n^(-z), A={z in C: Re(z)>1}로 두고,
f_k->f uniformly on A인데, f_k가 analytic on A for all k여서 f도 A에서 analytic임을 보이는 거였음
근데 A에서 Re(z)>1+e 꼴이었으면 쉬웠는데, Re(z)>1이어서 M-test 등 적용이 쉽지 않아 보였음 ㅠㅠ
디리클레 급수 관련해서 찾아보라길래 찾아봤더니 내용이 어려워 제대로 이해 못 했음
쉬운 접근 없을까여,,
uniformly limit of holomorphic 말하는거? Morera 돌리면 끝남
문제가 구체적으로 뭔지 모르겠음
M-test에 1+e 얘기가 나왔으니 holomorphic 보이는게 아니라 uniformly convergence 보이는게 막힌거 같은데 저 series는 Re z > 1에서는 uniformly convergent가 아님(따로 보일 수 있음). 대신 uniformly convergent한 compact neighborhood가 있음
보다 고상한 말로는 locally compact set인 X에서 fn이 locally uniformly bounded set이라 Montel theorem에 의해 normal family라 uniformly convergent한다고 쓸수도 있는데, 그냥 M-test 돌리는게 속 편함
아 짤렸네? 문제 다시 올림
n^(-z) = exp(-zlog n)이고 따라서 |exp(-zlogn)| <= n^(-Re z)까진 쉽게 나옴. 이제 위에 말했던것처럼 각 z에 대해 z와 z의 어떤 open set을 포함하는 compact neighborhood K를 잡을 수 있고(locally compact라는 말) compact set에서 Re z의 최솟값을 1+epsilon이라
M-test에 의해 fn은 K에서 f로 uniformly converge함. 이제 Morera에 의해 uniformly limit of holomorphic function은 holomorhic하므로 f는 analytic이다고 쓰면 충분함
아 결국 각 점을 포함한 작은 nbd K를 잡아서(cpt까지 되게끔) K에서 uni conv임을 보이고 댓글 내용처럼 f가 K에서 analytic임을 보이면 결국 전체 영역에서도 ana이다?
ㅇㅇ 각 점에서 analytic이면 analytic이지. K가 open nbd를 포함하고 있잖음. 아래 댓글 설명한게 이 내용임
그렇구나.. 처음에 uni conv에 꽂혀서 전체 영역에서만 접근하려고 했다 ㅠㅠ 땡큐
혹시 uni conv in A가 성립하지 않는 거 보이려면 어떤 아이디어가 필요함?
Fix epsilon=1. If fn conv.unif. there exists N s.t. n,m>N implies |fn(z)-fm(z)| < 1 forall z. However, since sum g(r) = 1/n^r is continuous on r in (1,2) and g goes to infty as r goes 1, there exists
r>1 such that sum k=N+1 to infty 1/k^r > 1. Now take z=r, n = N+1, m be any number s.t. sum k=N+1 to m 1/k^2 > 1
epsilon 아무거나(1) 잡고 unif. conv.가 될수 없음을 보이면 됨. 아이디어는 저 함수가 1로 다가가면 무한으로 갈테니까 적당히 코시수열이 안되는 애가 있겠구나 생각하는거고
2020 spring에 differentiable이지만 uniform convergence하지 않다는거 증명하는거 있는데 그거 참고하면 좋을듯
g(r) 정의를 sum 1/n^r로 수정. zeta(r)이라고 봐도 무방함
2020 spring 그문제 몇가지 remark하면 (i) not uniformly convergent (ii) locally uniformly convergent (iii) not locally uniformly convergent in C (iv) By (iii) We cannot apply Morera to show differentiability
(v) But we can show that f is differentiable
2020s에서 uni conv랑 diff 같이 나오는 문제는 증명은 아니고 그냥 물어보는 건데 이거 맞음? 10번 문제. 근데 이거는 복함 문제는 아니라 모레라 쓸 일은 없음
ㅇㅇ 그문제 맞음. 그냥 직접 미분해보고 unif.conv. 아닌거 보이면 끝남. 그냥 몇가지 remark 달아놓은거임
ㅇㅋ 굿
해석적인 함수열이 해석함수로 수렴할려면 꼭 정의역의 모든부분에서 균등수렴 할필요없음. 모든 cpt 부분집합에서 균등수렴하면 가능. 관련내용은 책펴봐
아 그렇네 있구나.. 이건 처음 알았다 고마워
이건 몇년도 문제임??
17 spring
어디서 구했음??
예전에는 이전 년도 기출들도 공개함
4년전이었나 모든년도 다 공개했던 시절 있었음. 자료 미리 수집하는 것도 능력이지