[일반] 해석학 질문이욥 ㅠㅠㅠㅠㅠ

[멍청이(211.36)]

Q의 closure가 R이 된다는 증명을

유리수를 잡던 무리수를 잡던 유리수/무리수의 조밀성에 의해 Q의 집적점이 된다는 식으로 해도 되나요??

- dc official App

[익명(218.235)]

무리수가 유리수 수열의 극한으로 표현된다는 걸 보이면 되지. 근데 니가 말하는 조밀성을 쓰겠다는게 뭘 하고싶단 건지 잘 모르겠음

[멍청이(124.50)]

어떤 무리수 x를 잡고 N(x,e)\{x} 교집합 Q를 생각해주면 유리수의 조밀성에 의해 공집합이 아니니까 x가 Q의 집적점이 되니까 (마찬가지로 x가유리수라고 해도) Q’=R이 되고 결국 Q의 closure가 R이므로 dense다 이런식으로 쓰고싶단 말이엇어요 - dc App

[익명(218.235)]

결론이 Q의 closure가 R인거 아님? dense가 왜 결론으로 나옴? 무리수가 유리수의 limit point인건 조밀성으로 그렇게 보여도 되는데, closure가 R인걸 증명하려면 Q의 모든 limit point는 R의 point인걸 보여야지

[익명(218.235)]

보이고 싶은 결론이

[익명(218.235)]

첫댓글에 앞에가 빠졌는데 유리수나 무리수가 Q의 limit point인건 그렇게 하면 된단 의미였음. 어쨌든 증명하려면 무리수가 limit point인걸 보이는 게 중요한게 아니라 Q의 limit point가 실수 말고 없다는 걸 보여야지

[익명(218.235)]

실수는 유리수의 limit point인건 그냥 조밀성 써서 하면 되는거고

[멍청이(124.50)]

유리수하고 무리수가 Q의 limit point란걸 보이면 Q’=R이 되니까 Q의 closure가 R이 된단 식으로 하려 햇던건데.. - dc App

[익명(218.235)]

무리수를 뭐라고 정의할 건데? 실수-유리수는 무리수? 그럼 실수는 뭐라 정의할 건지 생각해봄?

[익명(218.235)]

예를 들어서 Q라는 공간에서 Q의 closure는 Q임. 실수 정의를 생각해보고, 유리수의 closure의 집합으로 정의한 어떤 집합이 실수와 동치인지 보이는 게 맞음

[익명(61.255)]

https://math.stackexchange.com/questions/19044/how-to-prove-closure-of-mathbbq-is-mathbbr

[pseudo(kimbabsa)]

일단 Q의 closure가 R이다라는거랑 Q가 R에서 dense하다는거랑 동치라서 결론이 머가되던 상관없음. 애초에 해석학에서 R에 대한 dense 정의를 closure가 R인걸로 정의하잖아. - dc App

[익명(218.235)]

dense 정의는 실수 x y사이에 유리수 q가 존재한다 아님? 그리고 Q공간에서 Q의 closure는 Q임

[pseudo(kimbabsa)]

쓴이는 subet D가 A에 대해 D closure = A면 dense하다고 하는거 말하는거 같음. - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

limit point 정의가 임의의 양수 e에 대해 neighborhood(x,e)\{e}가 공집합이 아닌걸로 정의되잖아. 애초에 limit point x가 실수 위에서 정의되는거라 limit point가 실수에 포함되니 안되니가 의미를 가질지 모르겠는데. - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

윗 댓 말대로 n(x,e) = {y in Q : |x-y|

[pseudo(kimbabsa)]

스발 댓글 짤렸네 - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

neighborhood가 정의되려면 전체집합이랑 distance가 정의되야하는데 해석에선 보통 전체집합으로 R, distance로는 norm ||이 쓰이니깐 니가 한데로 하면 될거같음. - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

보통 해석학에서 subset X의 closure를 X와 X의 limit point들의 합집합으로 정의하지? 그리고 그 limit point의 정의는 neighborhood를 써서 정의하고? 왜 굳이 subset이라고 적어놨을지 생각해보셈. 전체 집합이 정의되지 않으면 limit point가 제대로 정의가 되겠음? - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

그니깐 대부분 해석학 책에서 굳이 subset of R이라고 적어두는거지. - dc App

[pseudo(kimbabsa)]

참고로 실수가 구성되지 않은 상태에서, Q의 limit point들이 complete하도록 만들어서 실수를 구성하는 방법이 코시수열을 이용한 실수 구성임. - dc App