'Every linear transformation is a matrix transformation.'
이거 답이 거짓이고 이유가
'A matrix transformation is a special linear transformation of the form x -> Ax where A is a matrix.'라는데
이게 무슨 뜻이냐??
행렬변환이 아닌 선형변환이 존재함?
구글링 해보니까 똑같은 질문한 사람 많은데 다 답이 다름
거짓이라는 사람이 많긴 한데 가끔 참이라는 사람도 있어서 뭐가 맞는지 모르겠음
이유를 읽어봐도 다 제각각이고 이해가 안 됨
기본적인 내용 같은데 이해 안 되니까 자괴감 오지네 ㅋㅋ
다항함수 벡터공간에서 미분하는 선형변환 생각하면 얘는 행렬로 표현 못하지 않나?? 아니면 걍 말장난으로 선형변환을 행렬로 표현할수 있는건 맞는데 행렬이랑 똑같다고 말한거니 아무튼 틀림 이런논리인가... 모르겠다
그쪽으로도 한번 고민해봄 답글 감사
차원이 유한이 아닐때 생각하면 됨
이제 선대 입문이라 무한은 어떻게 생각해야될지 모르겠는데 한번 생각해봄 ㄳㄳ
matrix transform은 말 그대로 행렬을 곱해서 얻어지는 선형사상을 말합니다. 예를 들어 n차 이하 다항식들의 벡터공간에서 같은 곳으로 가는 미분 변환은 선형변환이지만 그 자체로는 행렬을 곱해서 얻어지는 변환은 아니지요.
유한차원 벡터공간에서의 선형변환은 행렬을 곱하는 선형변환으로 "표현가능"할 뿐입니다. 기저를 선택한다면 말이죠. 그러나 그 자체가 행렬을 곱하는 선형변환은 아닌 겁니다. 행렬을 곱하는 선형변환은 F^n에서 F^m으로 가는 선형변환이니까요.
와.. 써주신 부분 계속 읽어보다가 드디어 이해했습니다 구체적인 설명 정말 감사합니다 그동안 선형변환에 대해 잘못 이해하고 있었네요
행렬변환이란게 어케 정의된건지는 모르겠는데 대충 둘중 하나일거임 일단 matrix transformation을 F^n에서 F^m으로 가는 선형 변환이라고 정의된거면 당연히 거짓이고 설령 matrix transformation이 transformation matrix로 표현가능한 선형변환이라고 정의돼도 무한차원 반례가 존재함 - dc App
선대 극초반에 나온 문제라 전자를 의미하는 거 같긴 한데 위에 댓도 그렇고 후자도 궁금하네 무한차원 반례가 어떤 건지 좀만 더 자세하게 설명해줄 수 있음?
아니다 메모해뒀다가 나중에 선대 많이 배우고 나면 그 때 다시 혼자 고민해봐야겠다 여튼 ㄳㄳ
finite dimensional V에서 finite dimensional W로 가는 linear transformation은 그 선형성 때문에 V의 basis가 W의 어떤 벡터로 매핑되는지에 따라 정해질 수 있음. - dc App
V의 basis를 {v1, v2, ... ,vn}=b1이라 하고 W의 basis를 {w1, w2, ... , wm}=b2이라하고, V에서 W로 가는 선형변환 F가 주어졌다고 하면, F(v1) = c11w1+c12w2+...+c1mwm이렇게 W의 basis b2에 대한 linear combination 으로 나타낼수 있지. - dc App
이 coefficient들로 행렬을 만들어서 선형변환을 표현하는거임. 기저 b1, b2에 의해 이 행렬은 유일하게 정해짐. basis는 linear independent한 벡터들로 이루어져있으니깐 linear combination이 유일하기 때문이지. 다만 기저가 바뀌면 당연히 행렬도 바뀜. - dc App
근데 무한차원이면 이런 행렬이 정의가 안되지. 물론 무한차원이라도 countable한 경우에는 행렬 비스무리하게 뭔가를 만들 수 있겠지만 행렬은 아님. 그니깐 무한차원이 반례라는건 domain이나 codomain이 무한차원이면 매트릭스로 표현되지 않는다는 거임. - dc App
어차피 지금 당장 이해안되도 선대공부하다보면 초반부터 나오는 개념이라 당장 이해안되도 걱정할 필요없음. 그냥 곧 공부하게 될거임. - dc App
아 그런 뜻이구나 바로 이해되네 늦은 시간에 이렇게 시간 내서 설명해줘서 정말 고맙다 복 받고 하는 일 잘되길 바람