p: a prime

a: a pth primitive root of unity

Q(a+1/a)가 a normal extension of Q임을 보여야 함


일단 deg(a+1/a, Q)=(p-1)/2임은 알고 있음

p가 소수이므로 irr(a, Q)=x^(p-1)+...+1

=>a^(p-1)+...+1=0

양변을 a^(p-1/2)로 나누면 f:=a^(p-1/2)+...+1+...+(1/a)^(p-1/2)=0

각 a^k+(1/a)^k는 (a+1/a), ... , (a+1/a)^(k-1)로 표현 가능하므로(귀납적으로 설명 가능) f는 (a+1/a)에 관한 다항식

=>a+1/a=t라 하면 a+1/a는 f=t^(p-1/2)+...+at+b의 a zero(a, b는 적당한 유리수)

deg(a+1/a, Q)=(p-1)/2이므로 위의 f가 irr(a+1/a, Q)임

이 식은 irr(a, Q)=x^(p-1)+...+1로 나온 것이므로 이 식으로부터 a+1/a의 conjugate들도 뽑아낼 수 있을 것 같은데, 여기서부터 막힘..

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