2019 가을 대학원 문제인데

S^2 위의 curve


gamma(t): (r cos(t), r sin(t), sqrt(1-r^2))에 대해

v in T_gamma(0) S^2의 gamma에 대한 parallel transport를 계산하라는 문제인데

봐도봐도 이놈의 parallel transport를 이해할 수가 없어서 못풀겠다

구글에 검색해보면 아이스크림마냥 원뿔 씌워주면 원뿔이 tangent plane이 되고 원뿔 위에 v를 갖다놓은 다음에 R^2 관점으로 한바퀴 돌린 것이 parallel transport한 결과다

라고 알려주는데 이걸 당최 v에 대한 식으로 어떻게 나타내야할지 모르겠음

내 parallel transport에 대한 이해도가 떨어져서 그런거 같은데 계산 어떻게 해야할지 도와줄사람

이거 하나때문에 이틀동안 머리 싸매고 있음 ㅜㅜ







--------------------------
내가 이해한 방법:
아이스크림마냥 cone 잡고 cone의 arc를 평행하게 따라가면 parallel transport가 나온다까지는 도카르모에 나온것처럼 이해했고 이걸 어떻게 계산하냐가 골치였는데

v의 transport를 v tilde라 하면 v tilde와 v가 아래 그림 P에서는 평행이니까 AC와 v tilde가 이루는 각도 alpha + theta를 구할 수 있음

이 v tilde를 C에서 다시 B로 옮겨서 보면 v와 v tilde가 이루는 각도가 alpha인걸 알수가 있음

즉, N을 회전축으로 alpha만큼 옮기는건데, N을 또 그려보면 gamma가 counterclockwise방향으로 움직이니까 v×N이 v tilde가 움직이는 방향이 됨

따라서 (cos alpha)v + (sin alpha)v×N이 답임

alpha는 2pi sqrt(1-r^2)

----------------------------------------

v가 Tp(S)라고 생각 안해서 계속 뻘짓했었는데 뻘짓하다가 참고한 자료 중 하나임

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf&ved=2ahUKEwjLypW26ansAhW7yYsBHStKDqEQFjAAegQIFhAC&usg=AOvVaw2OASgPtIZmBR6eAE9iYE7Z

Shifrin이라는 사람이 쓴 미기책이라는데 68페이지에 있는 example3이 표현만 다르지 정확히 똑같은 상황을 말해줌

----------------------
그림에 있는 빨간색 2alpha를 alpha로 수정




viewimage.php?no=24b0d769e1d32ca73dec87fa11d0283123a3619b5f9530e1a1316068e0deca13ad121c7df8bdb54f1655489d56ca15897e41d54705effd9e281507b1912c4d3b49990ff3f66a3009f8a84a0f357d11dcc3