1. 함수열 (fn)이 [0, 1]에서 정의됨
f_0(x)=sinx, n이 1 이상일 때 f_n(x)=int(0 to x)F(x, f_(n-1)(t))dt
F: RxR->R은 C^1 함수이며 ld_y(F(x, y))l≤k<1 for all x, y in R(d_y: y로 편미분)
prove that (fn) conv uni. on [0, 1]
시도: lf_n(x)-f_k(x)l
≤ int(0 to x) lF(x,f_(n-1)(t))-F(x, f_(k-1)(t))l dt
=int(0 to x) lf_(n-1)(t))-f(x, f_(k-1)(t))l ld_y(F(x, c(t)))l dt
(mvt 적용, c(t)는 f_(n-1)(t)와 f_(k-1)(t) 사이에 있음)
이런 식으로 부등식 전개하면 적분 식 안에 lf_(n-1)(t))-f(x, f_(k-1)(t))l가 나오고 ld_y(F(x, c(t)))ll≤k<1이니까 결국 mvt를 반복 적용해 (준식)≤k^m 꼴을 유도해 이 식이 결국 e보다 작아짐을 증명하려 했는데 잘 안 됨
2. sum(1 to n)(sinnx)/n이 [-pi, pi]에서 uni conv하지 않음을 증명
검색해보니 푸리에 급수 관련되어있단 얘기도 나오는데,, 구간이 [-pi+d, pi-d]꼴일 때 uni conv하는 것 까지는 이해하는데 d=0일 때를 잘 모르겠음.
3. [0, 1]에서 정의된 실함수 f가 임의의 단조증가함수 a에 대해 리만-스틸체스 적분가능하다고 할 때, f는 연속인가?
적분 명제는 보통 ~할 때 적분가능함을 보여라, 하는 형태로 많이 공부했는데 반대로 물으니 잘 모르겠음,,
해석 복습한지도 좀 오래고..
ㅠㅠ 답변좀
1. 그냥 연속한 두 항 차만 계산하면 됨 2. 제대로 쓴거 맞음? 만약 sum(m=1 to n)sinmx/m 의도했던거면 0에서 문제가 생기는거지 pi 근처에서 생기는게 아니라 [-pi+d, pi-d]에서 unif conv한다는게 이해가 안되는데 3. f한테 불연속점 있다 하면 그 점에서 step이 생기는 단조함수 a를 생각하면 됨
1번은 아래 댓이랑 같이 이해했슴다 수업 듣고 2, 3 생각해봄 감사감사
F를 t에 대해 적분한다 할 때, x=a로 두면 f_(n+1) (a) = integral 0 to a F(a, f_n (t)) dt에서 F를 y로 편미분한게 1보다 작고 d(y1, y2)가 1로 bounded면 | F(a, y1) - F(a, y2) |이 k보다 작은데 f0=sin x는 1로 bounded였음
F(a, f_n(t))에서 f_n( [0, a] ) 의 image의 diameter가 0으로 수렴하니 결국 f_n (a) = F(a, b)로 수렴하게 됨. f가 pointwise하게 수렴하는데 도메인이 컴팩트니 f는 uniformly하게 수렴함
일단 1번은 이렇게 하면 될 거 같은데 제대로 안풀어봐서 맞는지는 모르겠음
??
어디 이상한거 있음?
제일 핵심적인 부분이 이해가 안되긴 하는데 그건 넘어가고 일단 왜 도메인이 컴팩트하다고 수렴성이 uniform한지 모르겠음
fn이 연속이고 단조감소하면서 compact set 위에서 정의되는데 pointwise로 연속인 F로 수렴하니까 uniform하지 않음?
fn이 왜 단조감소임?
F를 y로 편미분 한게 k보다 작은데 F(a, fn(a))-F(a, fn(0))은 y변위가 1보다 작으니까 k보다 작고 fn(a)-fn(0)이 또 k보다 작으니까 [F(a, fn(a))-F(a, fn(0))] x (fn(a)-fn(0))이 fn(a)-fn(0) 보다 작은데, fn(0)은 항상 0이잖아
F(a, fn(a))-F(a, fn(0))를 F(a, fn(t1))-F(a, fn(t2))로 바꾸고 t1은 F가 max가 되는 값이고 t2는 F가 min이 되는 값
댓글 잘못적었음
f0(a)-f0(0)는 항상 1보다 작고, 귀납법 써서 fn(a)-fn(0)=fn(a)가 항상 1보다 작다고 가정하면 f_(n+1)(a)가 F의 적분값인데 실제 적분값보다 항상 큰 사다리꼴이 k fn(a)보다 작기 때문에 f_(n+1)이 1보다 작아서 귀납적 가정이 성립하고 동시에 이 부등식으로부터 k가 1보다 작으니 fn이 단조감소인게 따라옴
미안한데 전혀 이해가 안됨... y변위가 1보다 작다고 했는데 그건 fn(a)가 1보다 작단 뜻이고 이 근거가 뭔지 모르겠음 당장 f1만 봐도 0보다 클 때 크기 아무렇게나 크게 잡을 수 있잖아
일단 F=2라고 하면 f1=2x니까 f0보다 작지도 않고 1로 바운드되지도 않는데 귀납할때 무슨 논리를 쓴거임?
f0이 sin x로 주어졌는데 sin x가 [0, 1]에서 정의되면 1보다 크지 않잖아. 그리고 F의 y편미분이 k보다 작으면 만약에 F(a, 0) = 2라고 둬도 x가 1보다 크지 않으면 F(a, x)-F(a, 0)가 k보다 커질 수 없음 근데 [F(a, t1)-F(a, t2)] ( 1 - 0) 가 모든 t1, t2에 대해 k보다 작으니 정적분은 k보다
작아지게 되잖아
무슨 말을 하는진 모르겠는데 f1=2x가 1로 바운드되지 않으니 문제가 있긴 한거같은데 일단 방금 댓글에서 이해 안되는건 F(a,x)-F(a,0)이 k보다 작다고 해서 적분값이 k보다 작다는거
F를 t에 대해서 0에서 a까지 적분할건데 fn(a)-fn(0)이 1보다 작기만 하면 정적분은 항상 [max |F(a, fn(t1)) -F(a, fn(t2))| ]*(fn(a)-fn(0)) 보다 작거나 같은데 이게 결국 k fn(a) 보다 작잖아. 왜냐면 y편미분이 1을 못넘는데 y 변위가 1보다 작으면 F의 변위가 1보다 커질 수 없으니까
F를 왜 빼? 너는 fn+1(a)를 계산하고 싶은거 아니었어?
일단 f1=2x라는 반례를 줬으면 어디서 틀렸는지 생각해보는게 좋지 싶은데
그니까 f_(n+1)(a)는 F를 0에서 a까지 정적분 한건데, 0에서 a까지 t를 바꾸면서 F가 max와 min을 가질거 아니야. 근데 min max 차이와 y의 변위를 곱한게 정적분 크기의 상계잖아. 그니까 f_(n+1)의 상계를 구했더니 k fn이라는 말임
근데 f1=2x가 되게 하면서 y편미분이 1보다 작은 F가 있어야 반례가 되는 거 아님?
????????? 왜 그게 적분 상계야? F가 상수면 적분이 무조건 0이야?
일단 생각은 더 해볼건데, f1=2x가 반례인지는 모르겠음
F=2는 편미분이 1보다 작아 보이는데 내 계산이 맞다면 ㅋㅋ
F가 상수면 uniform하게 수렴하잖아 상관없지
니가 귀납가설을 fn이 1로 바운드돼있다로 잡았잖아 근데 f1이 그렇지 않을 수 있는거고 그럼 당연히 귀납한 논리가 잘못됐다고 생각하는게 자연스럽지
내가 F가 상수일때 말한건 니가 말한 저 상계가 맞는게 아니라는 예시고
솔직히 말해서 니 풀이 처음부터 끝까지 단 하나도 이해가 안됐는데 그 이유는 니가 계산하고 있는게 fn이 아닌 무언가라서 그런거같음
뭐야 왜 지웠어
나는 F가 0을 무조건 지난다고 생각했는데 일단 다시 생각해보겠음
뭐 생각은 자윤데 문제 자체는 상당히 쉬운 문제니까...너무 시간 많이 쏟지 말길
1번댓이 핵심적인 아이디어는 다 말해줬고 나는 왜 이렇게 생각했나를 말해봄. (3)f가 continuous except for finitely many points고 alpha가 continuous on disconti points of f면 f는 적분가능함. 느낌상 모든 f와 alpha에 대하면이면 뭔가 반례가 있을거같고, f와 alpha의 불연속점을 일
제일 간단한 함수는 역시 heavyside function이니 f와 alpha를 모두 u(t)(heavyside)로 잡아줌. 이제 U(P,f,alpha)와 L(P,f,alpha)를 계산해보니 운좋게도 P가 disconti pt를 포함하면 U는 항상 1, L은 항상 0에 튀어나옴. P를 아무리 줄여봤자 소용없으므로 적분 안되겠구나
(2) 잘 모르겠으니 Arzela-Ascoli를 때려봄. Pointwise Bounded인가? 함수의 급수로 정의했으니 당연. 그러니 Equicontinuous가 아니겠구나 생각할수 있음. Equiconti가 아닌 점을 찾아야하는데 만만한 점은 x가 0, pi/2, pi정도밖에 없음. 그런데 pi에서는 함수값이 alternating으로 나옴
나는 equiconti가 아니다를 보이기 위해 함수값을 요동치게 만들고 싶은데 alternating이니 적합하지 않겠구나 생각함. pi/2는 cos이랑 sin 번갈아나와 복잡함. 이건 마지막 선택임. 이제 x=0 근처를 알아볼건데 |x| < delta면 |fn(x)| < epsilon? 뭔가 느낌이 쎄함
fn(x)의 값은 x가 커지면 alternating으로 나옴. x의 범위를 alternating이 되지 않는 선, 즉, pi/n으로 잡아주면 계산하기가 편해지고 xn = pi/n으로 잡으면 뭔가 일이 벌어지겠구나 예감이 옴
만약 fn이 unif.conv면 xn이 0으로 수렴하니까 fn(xn)이 f(0)=0으로 수렴해야됨. 그런데 계산해보면 fn(xn)은 항상 2/pi 이상이 나옴. 그래서 모순이 생김
아 그리고 저 함수 내가 알기론 [-pi,-delta] cup [delta,pi]에서 unif.conv.고 x=0에서만 문제생긴다고 알고있음
1번은 나도 똑같이 fn(x)-fm(x)를 계산할랬는데 마지막에 f_(n-m)(x) - f0(x) 계산하기가 너무 어려운거임. 1번댓 말처럼 생각을 바꿔서 n-m이면 그냥 연속한 두 항의 차의 합으로 더하면 안될까 생각함. k^n으로 bound 시켜주는게 목표였는데 k^n부터 k^m까지 더해도 어차피 0으로 가지 않나 생각이 들었음
f1과 f0이 continuous on compact set이고 |f1-f0|의 maximal value M이 존재함. interval이 [0,1]이니 |fl(x) - f_(l-1)(x)| < k^(l-1)M이고, l을 n+1부터 m까지 더해주면 저 값은 k에 관한 식으로 bound 잡힘. 준비 다 끝났고 n,m이 커지면 bound 0으로 간다 보이면 끝
1번은 이해 완료 감사감사 수업 듣고 2, 3번 생각해보고 모르겠으면 댓글 담
아 3번 이상하게 했네. f가 임의의 alpha에 대해 적분가능하고 disconti at x=a일 경우 alpha를 u_a(t)로 잡아주면 위에서 말한바와 같이 U(P,f,alpha)-L(P,f,alpha) 차이가 줄어들지 않아서 적분이 안됨. 즉, f는 연속임. f가 left conti냐 right conti냐 따라 heavyside 조금씩 수정해주면 됨
ㅇㅋ 이해할 것 같음 결국 적분가능하려면 norm이 충분히 작은 파티션들에 대해 U(f, P, a)-L(f, P, a)
가 e보다 작아야 하는데 헤비사이드를 적절히 이용하면 U-L이 e보다 안 작아지는 파티션을 잡을 수 있다. 맞죠?
ㅇㅇ 맞음! f가 left에서 disconti하면 헤비사이드도 left에서 disconti하게, right에서는 right하게 잡아주면 U-L이 항상 f의 right limit - f의 left limit 이상이 됨
감사감사. 셋 다 이해함 님한테 진짜 많이 배워여 ㅋㅋ