(b)번 질문인데
S^2랑 Cu{inf}랑 homeo이니 X/~랑 Cu{inf}:=C^랑 homeo임을 보여도 됨
q: X->C^을 (x, y)l->x/y if y≠0, (x, 0)l->inf라 잡음
q가 a quotient map임을 보이면 a homeo f: X/~->C^이 존재(Munkres thm 22.3)
q가 conti임을 보임
이때 어떤 conti인 h: C^->X가 존재해 q o f = id_C^이면 q가 a quotione map임(Munkres ch 22 연습문제)
처음에 h를 zl->(z, 1) if z≠0, infl->(1, 0)라 정의했는데 이러면 h가 not conti인 것 같음
비스무리하게 h를 잡되 conti이게끔 하려고 했는데 실패함
help..
complex projective space인데 munkres에 나오나? 안나오면 틀리라고 낸거같은데 ㅋㅋ
음.. 제가 뒷부분까진 안 봐서 모르겠네요 ㅠㅠㅠ
멍커스에 projective space 안나옴
Quotient 에 항상 section이 존재하는게 아닐텐데. Quotient function 정의 이용해서 증명하는게 나을듯
음.. section이 뭔가요? ㅠ
저 h가 모든 Quotient에 항상 존재하는게 아닐걸.
아 이 경우는 존재하는 거 같네. 혼란을 줘서 미안 ㅠ
출제의도인진 모르겠는데 유명한 방법을 소개하자면.. 문제에서 준거랑 S^2 둘다 closed unit ball of R^2에서 bd를 한점으로 모은거랑 동형임
역시 CPn이야 댓글 성능 확실하구만 ㅋㅋㅋ 저거 이름은 CP1이라고 부르고 S2랑 diffeomorphic임. 내가 처음 풀때는 homogenous coordinate [x:1]이랑 [1:0]으로 분리해주고 [x:1]이 C과 homeo니 1pt cpt인 CP1이 S2랑 homeo라고 했음
저 방법으로는 f 찾는게 꽤나 까다로움. 불연속점이 어디 하나 존재함. sterographic projection 식 따라해서 조심조심 접근해야함. projection 찾기 번거로워서 남이 쓴거 글어왔음.
https://math.stackexchange.com/questions/323116/mathbbc-mathbbp1-is-homeomorphic-to-s
찾아보니 더 좋은 h가 있네. h(z) = (z,1)/(1+|z|^2)^1/2로 잡아주면 h(0) = (0,1)이고 h(inf) = (1,0)으로 잘 잡힘.
https://math.stackexchange.com/questions/995256/mathbbcp1-diffeomorphic-to-s2
아 링크에서 cp1이라는 공간에서 바로 함수를 잡아서 그런가, 내용은 알겠어도 와닿지 않는다.. 문제에서 준 X에서 출발하는 함수로 잡아야 지금 이해가 되겠는데 cp1에서의 함수를 다루니 이해가 안 됨 ㅠ
ㄴㄴ h(z) = (z,1)/sqrt(1+|z|^2)는 C cup {inf}에서 X로 가는 함수임. h(inf) = (1,0)으로 정의. 연속이고 q circ h = id|C^까지 만족함
헐 되게 긴단하게 생겼네.. 이걸 왜 못 찾았지 ㅠㅠ 이해했음 ㄱㅅㄱㅅ
h의 inf에서의 연속성이 좀 껄끄러운데,, 보이려 하니까 쉽지 않고.. 이 정도는 넘어가도 되려나