[일반] 형들 second order linear equation 질문좀 ㅠㅠ

[익명(221.138)]

y'' + ay' + by = 0 이고,

이 식의 characteristic equation이 한 개의 해만 가질때 (a^2-4b = 0 일 때)

이거 general solution 구하는 방법에서 y1을 구하고 나서

또 다른 independent한 해는

y = u(t)y1 으로 가정하고, 풀더라고

혹시 그 이유 알 수 있음? ㅠㅠ

구글에 쳐도 d'alembert 이라는 사람이 알아냈다는 정도만 나오고

이유는 잘 모르겠더라구 ㅠㅠ

[TonyMontana(thecoqproofassistant)]

(D - lambda)^2 y = e^(lambda x) D^2 (e^-(lambda x) y)니까 (D - lambda)^2 y = 0은 D^2 (e^-(lambda x) y) = 0을 의미하므로 해의 기저가 { e^(lambda x), x e^(lambda x) }임 - PushItToTheLimit!

[TonyMontana(thecoqproofassistant)]

여기서 D = d/dx는 미분연산자임 - PushItToTheLimit!

[익명(221.138)]

(D - lambda)^2 y = e^(lambda x) D^2 (e^-(lambda x) y)니까 (D - lambda)^2 y = 0은 D^2 (e^-(lambda x) y) = 0 까지는 이해가 가는데 해의 기저가 { e^(lambda x), x e^(lambda x) } 가 되는 건 이해가 안되네 ㅠㅠ e^(lambda x)가 해 인거는 알겠는데, x e^(lambda x)가 해 인거는 잘 이해가 안됨 ㅠㅠ D^2 (e^-(lambda x) y) = 0 이니까 두 번 미분한게 값 이 0 이 되어야 하므로 e^-(lambda x) y = x 이므로 y = x e^(lambda x)가 되는건가...?

[TonyMontana(thecoqproofassistant)]

ㅇㅇ 맞음 - PushItToTheLimit!

[익명(221.138)]

늦은 밤에도 고맙습니다 형님 ㅠㅠ (D - lambda)^2 y = e^(lambda x) D^2 (e^-(lambda x) y) 같은걸 도대체 어떻게 생각해낸걸까 정말 대단하다는 말 밖에 안나오네...