Let R be a ring and M = arbitrary set ( nonempty ) . SHOW that the following are equivalent.


(i) The ring of all mappings from M to R is a field.


(ii) M contains only one element and R is a field.


대수 초보라.. 쉬운거같은데 문제 자체가 좀 헷갈리네요.


일단 mapping from M to R 을 f_i로 표기해볼게요.


(ii) - > (i)

M이 원소 1개니까. 각 맵핑 f_i: M -> R 가 R에 있는 원소 한개로 대응이 될텐데.


가정에서 R이 필드라고 했으니까 mapping이 필드인것도 당연하다고 생각


(i) -> (ii) 

이거가 좀 헷갈려요. mapping들의 ring이라는 개념을 이해 못한건지


f_i : M -> R이 field인 상황인데.


M에 원소가 두 개 이상이거나, R이 field가 아니면 모순이 일어난다는 식으로 접근할거같은데


R is not field.라면 the ring of all mapping is not field. 를 보이고 싶은데.


이 경우에도 모든 맵핑이니까 R에 있는 모든 원소에 대응되는 어떤 mapping이 있다고 생각해도 될까요? 그 대응되는게 R인데 그게 필드가 아니다. 이런식으로..


그리고 원소 2개라면 모순이 생기는것도 될거같은데 감이 잘 안잡히네요.