A가 n*n symmetric 한 행렬이고 아래와 같이 정의함


이 최적화문제에 solution, x*가 존재하고

R_A(x*)가 A의 가장 큰 eigenvalue고

x* 는 그 eigenvalue의 eigenvector임.


문제는 EVT를 사용해서

sup R_A(x) is attained 을 보여라임

x


R^n이 compact한 set이 아닌데 어떻게 EVT를 쓸수있는건지도 모르겠고 증명은 어떤식으로 해야할지 팁이라도 주면 고맙겠음

(해석학 안듣고 미적에서 증명하는것밖에 안해봄..)


추가 -------------------------------------------

찾아보니 R^n을 norm(x) = 1의 n dimensional sphere로 transform하면 이 sphere가 컴팩트하다고 함


f(x) = x^TAx가

compact하고 continuous하니

There exists x_max & x_min, s.t. f(x_max) >= f(x) >= f(x_min) for all {x: ||x||=1}까진 알겠음


근데 이걸 이용해서 x_max^T*A*x_max = sup R_A(x)를 보이는건 어떻게 해야할지 모르겠음